функция
ζ
=
ϕ
+
i
ln(
ρ/r
т
)
,
где
i
=
√ −
1
,
конформно отображает этот
элемент на внутренность прямоугольника
ADD
0
A
0
(
см. рис. 2) в плос-
кости
(
ζ
)
,
характеризуемого параметрами
B
,
H
и
h
0
,
которые связаны
соотношениями
2
B
H
=
2
π
n
ln(
r
к
/
r
т
)
,
h
0
H
=
−
ln(1
−
h/r
к
)
ln(
r
к
/
r
т
)
.
Это конформное отображение переведет искомый комплексный по-
тенциал в аналитическую внутри прямоугольника функцию, описыва-
ющую распределение температуры внутри прямоугольника
ADD
0
A
0
.
При этом сторона
A
0
A
этого прямоугольника будет иметь температуру
T
т
,
а сторона
D
0
D
и отрезки
CD
и
C
0
D
0
—
температуру
T
к
.
При кон-
формном отображении линии равного потенциала (в данном случае —
изотермы) и линии тока теплового потока остаются взаимно перпенди-
кулярными. Поэтому термические сопротивления слоя теплоизоляции
с поперечным сечением в виде прямоугольника
ADD
0
A
0
и в виде вы-
деленного повторяющегося элемента кольцевого слоя совпадают при
условии, что коэффициент теплопроводности
λ
теплоизоляции в обо-
их случаях одинаков.
Однако вычислить непосредственно термическое сопротивление
прямоугольника
ADD
0
A
0
довольно сложно. Задачу можно упростить,
если этот прямоугольник удастся конформно отобразить на новый пря-
моугольник
A C C
0
A
0
в плоскости
(
z
)
(
см. рис. 2), у которого верхняя
сторона
C C
0
будет соответствовать участку границы
CDD
0
C
0
старо-
го прямоугольника в плоскости
(
ζ
)
и иметь температуру
T
к
,
а нижняя
сторона
A A
0
нового прямоугольника — нижней стороне
AA
0
старого
и иметь температуру
T
т
.
Тогда распределение температуры для ново-
го прямоугольника будет определено этими значениями температуры
на его горизонтальных сторонах
A
0
A
и
C
0
C
и условием идеальной
теплоизоляции на его боковых сторонах. Такое распределение темпе-
ратуры имеет простой вид:
T
=
T
т
+ (
T
к
−
T
т
)
y/H .
(3)
Конформное отображение прямоугольника на прямоугольник мож-
но осуществить в два этапа, используя в качестве промежуточной
области верхнюю полуплоскость комплексной плоскости
(
w
)
(
см. рис. 2).
При помощи эллиптического интеграла первого рода
ζ
=
I
(
w
)
=
C
w
w
Z
0
du
p
(1
−
u
2
)(1
−
k
2
u
2
)
,
k <
1
,
(4)
конформно отобразим верхнюю полуплоскость
Im
w >
0
на прямо-
угольник
ADD
0
A
,
подбирая соответствующим образом параметр
C
w
194
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012