и модуль
k
эллиптического интеграла. При этом отрезку
[
−
1
,
1]
дей-
ствительной оси в плоскости
(
w
)
будет соответствовать сторона
A
0
A
прямоугольника
ADD
0
A
0
в плоскости
(
ζ
)
(
см. рис. 2), а точке
w
= 1
будет отвечать в плоскости
(
ζ
)
точка
ζ
=
B
,
т.е.
B
=
C
w
1
Z
0
du
p
(1
−
u
2
)(1
−
k
2
u
2
)
=
C
w
K(
k
)
,
(5)
где
K(
k
)
—
полный эллиптический интеграл первого рода [3, 4], не
выражаемый через элементарные функции, но его значения табулиро-
ваны для различных значений модуля
k
[5].
Из формулы (5) следует
C
w
=
B/
K(
k
)
.
При
1
< u <
1
/
k
подынтегральное выражение в формуле (5) бу-
дет чисто мнимым, т.е. движению точки в пределах этого интервала в
плоскости
(
w
)
соответствует движение точки вдоль стороны
AD
пря-
моугольника в плоскости
(
ζ
)
.
Чтобы точке
w
=
u
= 1
/
k
отвечала в
плоскости
(
ζ
)
точка
D
(
ζ
=
B
+
iH
),
должно быть выполнено, согласно
формуле (4), условие
B
+
iH
=
C
w
1
/
k
Z
0
du
p
(1
−
u
2
)(1
−
k
2
u
2
)
=
B
+
iB
K(
k
0
)
K(
k
)
,
(6)
где
k
0
=
√
1
−
k
2
—
дополнительный модуль эллиптического интегра-
ла. Следовательно, из равенств (5) и (6) имеем
H/B
= K(
k
0
)
/
K(
k
)
=
μ
(
k
)
.
Функция
μ
(
k
)
монотонно убывает до нуля в промежутке
(0
,
1]
(
рис. 3).
Поэтому любому заданному отношению
H/B
2
(0
,
+
∞
)
отвечает
единственное значение модуля
k
.
Прообразом точки
C
в плоскости
(
ζ
)
при отображении, определя-
емом формулой (4), будет точка
c >
1
действительной оси
Im
w
= 0
,
удовлетворяющая условию
Рис. 3
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
195