3 / 9
Оптимальное проектирование балки с ограничениями на частоту…
3
1
2
1
2
2
0
( )
( ) δ )
( ( )
( )
( )
)
(
(
.
)
xx
q x V dx
V x q
W x q
W x
q dx
x
x x
(6)
Таким образом, выведено выражение вариации первого соб-
ственного значения через вариацию
δ ( ):
h x
1
1
2
0
1
2
0
(α ( ) δ ( ))
δω
.
( )
h V x h x dx
W x dx
(7)
Для численного решения задачи вводим, следуя [11], разностную
сетку
0 1
, , ,
N
x x x
с постоянным шагом
1
Δ
,
0, ,
1.
i
i
x x x i
N
Функцию
( )
h x
аппроксимируем кусочно-постоянной функцией
вида
1
( )
при
,
i
i
i
h x h
x x x
(8)
где
i
h
— некоторые константы.
Для реализации метода оптимизации применим метод градиент-
ного спуска [12–14]:
( 1)
,
k
k
i
i
h
h x
(9)
где
– длина шага.
Далее необходимо найти проекцию точки
( 1)
k
h
на поверхность,
описываемую формулой (7) для приращения
, которое в нашем слу-
чае должно быть равно нулю. Из этой формулы видно, что искомая
поверхность нелинейным образом зависит от
( ).
h x
Этот факт чрез-
вычайно затрудняет поиск проекции любой точки на эту поверх-
ность.
Поэтому поступим следующим образом. Обозначим в формуле
(7)
( 1)
( )
k
k
h h
h
, при этом необходимо найти значения
( 1)
k
h
, кото-
рые являются проекциями величин
( 1)
k
i
i
h
a
на поверхность
2
1
( 1 α)
( 1)
( )
1
1
α
0.
2
N
k
k
k
i
i
i
i
i
i
V V
h
h
h x
В формуле (10) слева стоит численная аппроксимация интеграла,
находящегося в числителе дроби (7). Отметим, что
1
2
0
1
( )
xW dx
, так
как после каждого просчета
выполнялась нормировка функций
( ) и ( )
W x V x
.
Для краткости обозначим
1
( 1)
,
.
k
k
i
i
i
i
h
x h
а
Таким образом,
необходимо решить следующую классическую задачу на условный
экстремум: