Последовательным исключением неизвестных из равенств (5). . . (7)
находим
2
B
R
3
2
=
G
e
λ
(2
C
1
+
C
2
C
V
)
−
2(
C
1
−
C
2
C
V
)
e
λ
(2
C
1
+
C
2
C
V
)
+
C
1
−
C
2
C
V
,
(8)
где
C
1
= ˉ
λ
(2
+
β
)(1
−
ˉ
R
3
0
)
+
β
(2
+ ˉ
R
3
0
)
,
C
2
= 2 ˉ
λ
(1
−
β
)(1
−
ˉ
R
3
0
)
+
β
(2
+ ˉ
R
3
0
)
и
ˉ
R
0
=
R
0
/
R
1
.
В случае включения в виде сплошного шара
ˉ
R
0
= 0
.
Замена составной шаровой частицы равновеликим шаром радиу-
сом
R
2
с искомым коэффициентом теплопроводности
λ
приведет к
исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее
однородном материале с тем же значением
λ
.
Тогда в равенстве (2)
следует положить
Δ
T
(
r, θ
)
= 0
,
что равносильно условию
B
= 0
,
которое с учетом формулы (8) позволяет записать
e
λ
=
2(
C
1
−
C
2
C
V
)
2
C
1
+
C
2
C
V
.
(9)
В частном случае идеального теплового контакта на сферической
поверхности радиусом
R
1
,
разделяющей включение и матрицу,
β
→ ∞
и равенство (9) при
ˉ
R
0
= 0
переходит в известную формулу Макс-
велла [2]
e
λ
=
2
+ ˉ
λ
−
2(1
−
ˉ
λ
)
C
V
2
+ ˉ
λ
+ (1
−
ˉ
λ
)
C
V
,
(10)
полученную на основе более простой двухфазной модели, состоящей
из включения в виде сплошного шара и окружающего его материала
матрицы. При полном отсутствии теплового контакта на этой поверх-
ности
β
= 0
и из равенства (9) следует
e
λ
=
2(1
−
C
V
)
2
+
C
V
= 1
−
3
C
V
2
+
C
V
,
(11)
что соответствует пористому материалу с коэффициентом теплопро-
водности
λ
2
,
объемная концентрация пор в котором равна
C
V
.
Равен-
ство (9) переходит в соотношение (11) и в случае абсолютно нетепло-
проводных включений (
ˉ
λ
= 0
).
Наоборот, при абсолютно теплопро-
водных включениях (
ˉ
λ
→ ∞
)
из равенства (9) получим формулу
e
λ
=
2
+
β
−
2(1
−
β
)
C
V
2
+
β
+ (1
−
β
)
C
V
,
(12)
аналогичную формуле (10) Максвелла, но с заменой параметра
ˉ
λ
на
параметр
β
.
Наконец, предельным переходом в правой части формулы
(12)
при
β
→ ∞
,
что соответствует идеальному тепловому контакту
между матрицей и идеально теплопроводным включением, приходим
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
87