а уравнение (6) запишется следующим образом:
(1
+
β
˜
t
)
∂
Θ
∂
˜
t
=
∂
2
Θ
∂
˜
r
2
+
2
˜
r
+
˜
rβ
2
∂
Θ
∂
˜
r
.
(9)
Правая часть уравнения (9) с граничными условиями (7) опреде-
ляет линейный дифференциальный оператор
A
[
χ
(
˜
r
)]
=
−
∂
2
χ
∂
˜
r
2
+
2
˜
r
+
˜
rβ
2
∂χ
∂
˜
r
,
определенный на множестве ограниченных функций, интегрируемых
с квадратом на отрезке
[0
,
1]
и обращающихся в нуль при
˜
r
= 1
.
Оператор
A
[
χ
(
˜
r
)]
является самосопряженным и положительно опре-
деленным относительно скалярного произведения
(
χ
1
(
˜
r
)
,
χ
2
(
˜
r
))
=
1
Z
0
χ
1
(
˜
r
)
χ
2
(
˜
r
)
˜
r
2
e
˜
r
2
β
4
d
˜
r
и имеет дискретный спектр. Это позволяет представить решение зада-
чи в форме спектрального разложения по собственным функциям
Θ =
∞
X
n
=1
Θ
n
(
˜
t
)
ψ
n
(
˜
r
)
,
(10)
где
ψ
n
(
˜
r
)
—
решение задачи Штурма–Лиувилля, которая в переменных
принимает вид
−
∂
2
ψ
n
(
˜
r
)
∂
˜
r
2
+
2
˜
r
+
˜
rβ
2
∂ψ
n
(
˜
r
)
∂
˜
r
=
λ
n
ψ
n
(
˜
r
)
,
(11)
|
ψ
(
˜
r
)
|
˜
r
=0
|
<
+
∞
,
ψ
(
˜
r
)
|
˜
r
=1
= 0
.
(12)
Решение уравнения (11) может быть представлено через гипергео-
метрическую функцию
1
F
1
(
. . .
)
[8]:
ψ
n
(
˜
r
)
=
C
1 1
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
˜
r
2
β
4
+
2
C
2 1
F
1
λ
n
β
−
1
2
;
1
2
;
−
˜
r
2
β
4
˜
r
√
β
,
(13)
где
C
1
и
C
2
—
константы интегрирования. Гипергеометрическая функ-
ция может быть представлена в виде ряда
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
∞
X
n
=0
(
a
)
k
z
k
(
b
)
k
k
!
,
1
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
˜
r
2
β
4
˜
r
=0
= 1
.
(14)
Из условия ограниченности собственных функций следует, что
C
2
= 0
.
Подставляя найденное решение (13) в краевое условие (12),
получаем набор трансцендентных уравнений для определения соб-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
133