ственных значений оператора
A
:
1
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
β
4
= 0
,
n
2
N
.
Таким образом, собственные функции оператора
A
могут быть опре-
делены с точностью до константы:
ψ
n
(
˜
r
)
=
C
11
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
˜
r
2
β
4
.
Постоянную
C
1
находим из условия нормировки
k
ψ
n
(
˜
r
)
k
=
1
Z
0
C
1
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
˜
r
2
β
4
2
˜
r
2
e
˜
r
2
β
4
d
˜
r
= 1
.
(15)
Интеграл в уравнении (15) в общем случае не удается отыскать в
замкнутом виде. Однако, поскольку функция
ψ
n
(
˜
r
)
является простой
точкой спектра линейного оператора
A
,
ее норма может быть найде-
на с использованием теоремы, приведенной в [9] . Нормированные
собственные функции будут иметь вид
ψ
n
(
˜
r
)
=
1
N
(
λ
n
,
β
)
1
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
˜
r
2
β
4
,
где
N
(
λ
n
,
β
)
=
s
−
1
3
λ
n
β
1
F
1
3
2
−
λ
n
β
;
5
2
;
β
4
∂
∂λ
1
F
1
λ
β
;
3
2
;
−
β
4
λ
=
λ
n
.
Производная гипергеометрической функции по первому аргументу
вычисляется почленным дифференцированием ряда (14):
∂
∂a
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
∞
X
n
=0
∂
∂a
(
a
)
k
z
k
(
b
)
k
k
!
.
Для нахождения координатных функций подставим разложение
(10)
в уравнение (9), в результате чего исходная начально-краевая за-
дача сведется к последовательности задач Коши
(1
+
β
˜
t
)
d
Θ
n
d
˜
t
=
−
λ
n
Θ
n
,
Θ
n
(
t
)
|
t
=0
= Θ
(0)
n
,
(16)
где
Θ
(0)
n
—
проекция начального распределения температуры на эле-
мент ортонормированного базиса
ψ
n
:
Θ
(0)
n
=
1
Z
0
Θ
(0)
(
˜
r
)
N
(
λ
n
,
β
)
1
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
˜
r
2
β
4
˜
r
2
e
˜
r
2
β
4
d
˜
r.
134
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012