Теорема 4.
Методы второго порядка A-устойчивы тогда и только
тогда, когда
A
6
−
1
2
,
B
>
−
A
2
−
1
4
.
Теорема 5.
Для L-устойчивости методов второго порядка необ-
ходимо и достаточно, чтобы
B
=
−
A
−
1
/
2
>
0
.
Кроме того, для линейных систем (1) с постоянными коэффициен-
тами получены следующие результаты.
Теорема 6.
Для того чтобы ABC-схемы (2) аппроксимировали ли-
нейную автономную систему с порядком 3, необходимо и достаточно,
чтобы
B
=
−
A/
2
−
1
/
6
,
A
6
−
1
/
2
.
Такие методы образуют однопа-
раметрическое семейство
I
+
Ahf
y
−
(
A
+ 1
/
3)(
h
2
f
2
y
/
2) (
y
1
−
y
0
)
=
hf
+ (
A
+ 1
/
2)
h
2
f
y
f
(4)
с главным членом ошибки
y
(
x
0
+
h
)
−
y
1
= (
h
4
/
4!)(1
+ 2
A
)
f
3
y
f
и функцией устойчивости
R
(
z
)
=
1
+ (1 +
A
)
z
+ (
A/
2
+ 1
/
3)
z
2
1
+
Az
−
(
A/
2
+ 1
/
6)
z
2
.
Эти методы
A
-
устойчивы при
A
6
−
1
/
2
,
а при
A
=
−
2
/
3
такой
метод
L
-
устойчив; при
A
=
−
1
/
2
метод (4) аппроксимирует решение
линейной автономной системы с порядком 4.
Замечание 1.
Для возведения в квадрат заполненной матрицы
f
y
требуется
n
3
мультипликативных операций, и еще
n
3
/
3
операций для
LU
-
разложения матрицы в левой части уравнения (2). Но если эту
последнюю матрицу разложить на линейные множители, то возво-
дить
f
y
в квадрат не надо, и число затрачиваемых на линейную ал-
гебру действий сократится вдвое. Количество действий уменьшится
еще примерно в два раза, если ограничиться однопараметрическим
семейством
ABC
-
схем, у которых
B
=
A
2
/
4
.
На рис. 1 заштрихованной области
A
принадлежат те значения
коэффициентов
(
A, B
)
,
которые принадлежат
A
-
устойчивым методам
второго порядка (теорема 4); прямая
L
соответствует
L
-
устойчивым
методам (теорема 5); штриховая прямая
p
= 3
представляет однопара-
метрическое семейство методов из Теоремы 6; пунктирная парабола
B
=
A
2
/
4
показывает семейство наиболее экономичных
ABC
-
схем из
замечания
1.
Более детальное исследование одностадийных
ABC
-
схем можно
найти в работе [4], где приведены также результаты, полученные для
случая неавтономных систем дифференциальных уравнений и резуль-
таты численных экспериментов, в которых проводилось сравнение с
некоторыми известными методами.
162
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012