Используя в (3) выражение (2), получаем уравнение баланса кон-
центрации частиц в описании Эйлера
∂ρ
(
x
,
t
)
∂t
+
∂
∂x
i
{
ρ
(
x
,
t
)
u
i
(
x
,
t
)
}
= 0
.
(4)
Уравнение (4) переписываем в виде
∂ρ
(
x
,
t
)
∂t
+
u
i
(
x
,
t
)
∂ρ
(
x
,
t
)
∂x
i
=
−
ρ
(
x
,
t
)
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
.
(5)
Из уравнения (4) видно, что изменение концентрации связано с локаль-
ной случайной дивергенцией скорости несущей фазы. В переменных
Лагранжа подставим в (5) вместо координаты Эйлера
x
случайную
координату частицы
X
(
α
)
(
t
)
dρ
X
(
α
)
(
t
)
,
t
dt
=
∂ρ
(
x
,
t
)
∂t
+
u
i
(
x
,
t
)
∂ρ
(
x
,
t
)
∂x
i
x
=
X
(
α
)
(
t
)
=
=
−
ρ
(
x
,
t
)
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
x
=
X
(
α
)
(
t
)
.
(6)
Из уравнения в переменных Лагранжа (6) следует, что изменение кон-
центрации дисперсной примеси вдоль траектории выделенной части-
цы обусловлено дивергенцией флуктуаций скорости несущей среды.
Индикаторные функции в переменных Эйлера и Лагранжа.
В соответствии с двумя подходами Эйлера и Лагранжа мы определим
две индикаторные функции, которые выделяют случайные траектории
в фазовом пространстве концентраций.
В описании Эйлера вводим индикаторную функцию, описываю-
щую случайную концентрацию частиц в фазовом пространстве [6]
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
=
δ
(
ρ
−
ρ
(
x
,
t
))
,
(7)
где
ρ
—
координата в фазовом пространстве концентраций.
Уравнение для индикаторной функции (7) получается в результате
дифференцирования
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
по времени
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
=
∂
∂ρ
δ
(
ρ
−
ρ
(
x
,
t
))
∂ρ
(
x
,
t
)
∂t
.
(8)
С учетом уравнения (5) уравнение для индикаторной функции (8) при-
нимает вид
∂ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
=
=
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
∂
∂ρ
ρϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
+
u
i
(
x
,
t
)
∂
∂ρ
ϕ
E
(
ρ,
x
,
t
)
∂ρ
(
x
,
t
)
∂x
i
.
(9)
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012