Рис. 1. Положение вихря при обтекании кругового профиля
несжимаемой среды, и комплексных потенциалов изолированных осо-
бенностей (точечных вихрей):
F
(
ξ
)
= ˜
F
(
ξ
)
+
m
X
j
=1
F
j
ξ
−
d
1
j
∙
e
i
∙
θ
j
−
F
j
ξ
−
d
2
j
∙
e
i
∙
θ
j
.
Здесь
˜
F
(
ξ
)
=
W
∞
ξ
+
W
∞
ξ
+
G
2
πi
Ln(
ξ
)
,
звездочка означает комплексное
сопряжение,
G
—
циркуляция поля скоростей
~v
по любому замкнуто-
му контуру, охватывающему круг
C
0
и не охватывающему вихревые
особенности поля скоростей;
F
j
(
ξ
)
=
G
j
2
πi
∙
Ln(
ξ
)
,
где
G
j
—
интенсив-
ность (циркуляция)
j
-
го вихря,
θ
j
—
угол между прямой, соединяю-
щей начало координат с положением
j
-
го вихря, и положительным
направлением оси абсцисс;
d
1
j
—
расстояние от начала координат до
изолированной особенности (рис.1).
Для случая произвольного профиля
C
задача расчета обтекания
будет решена, если известно конформное отображение
ξ
= ˆ
ζ
(
z
)
,
пе-
реводящее внешность профиля
C
на внешность единичного круга, а
также обратное отображение
z
=
ζ
(
ξ
)
[2, 3].
Используя данные функ-
ции, можно найти выражение для комплексного потенциала течения
f
(
z
)
в области
R
2
\
C
:
F
(
ξ
)
=
F
(
ˆ
ζ
(
z
))
= ˜
F
(
ˆ
ζ
(
z
))
+
+
m
X
j
=1
F
j
ˆ
ζ
(
z
)
−
d
1
j
∙
e
i
∙
θ
j
−
F
j
ˆ
ζ
(
z
)
−
d
2
j
∙
e
i
∙
θ
j
=
f
(
z
)
.
Тогда вектор скорости потока в любой точке течения
~v
=
∂
Φ
∂x
;
∂
Φ
∂y
,
где
Φ(
x, y
)
= Re(
f
(
x
+
i
∙
y
))
= Re(
f
(
z
))
.
Рассмотрим профили простейших форм — эллипсы и профили Жу-
ковского, для которых достаточно легко построить аналитические ре-
шения задачи.
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012