щимся индексам):
ρc
ε
∂T
∂t
=
−
TC
ijkl
(
D
)
α
(
T
)
kl
∂ε
ij
∂t
+
∂
∂x
i
λ
(
T
)
ij
∂T
∂x
j
+
Q
—
уравнение теплопроводности
,
ρ
∂
2
u
i
∂t
2
=
∂
∂x
j
C
ijkl
(
D
)
∂u
k
∂x
l
−
ε
(
T
)
kl
+
ρb
i
,
i
= 1
,
3
—
уравнение движения
,
(2)
где
T
—
температура,
u
i
—
компоненты вектора перемещений,
ε
ij
—
компоненты тензора малых деформаций,
C
ijkl
—
компоненты тензора
упругих коэффициентов, зависящих от параметра разрушения,
c
ε
—
удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации,
λ
(
T
)
ij
—
компоненты тензора теплопроводности,
ε
(
T
)
ij
—
компоненты тензора
температурных деформаций,
Q
—
функция-источник, описывающая
объемное тепловыделение,
α
(
T
)
ij
—
коэффициент линейного расшире-
ния.
Пусть материал стержня является изотропным. Будем рассматри-
вать изотропное разрушение, описываемое скалярным параметром
D,
0
6
D
6
1
:
при
D
= 0
материал не поврежден,
D
= 1
означает,
что имеет место трещина. Разрушение развивается вместе с ростом
упругих деформаций. Для определения начала разрушения вводится
переменный предел разрушения
ε
D
,
характеризующий размер упругой
области. Запишем зависимость
D
от
ε
:
dD
=
ε
ε
0
s
dε,
когда
ε
=
ε
D
и
dε
=
dε
D
>
0;
dD
= 0
,
когда
ε < ε
D
или
dε
6
0
,
(3)
где
s >
0
,
ε
0
—
постоянная величина, а переменный предел деформи-
рования
ε
D
согласован с критерием деформирования, когда критерии
пластичности и разрушения различны и независимы [2].
Для задачи (2) поставим начальные и граничные условия:
T
(
x,
0)
=
T
st
(
x
);
T
(0
,
t
)
=
T
1
,
T
(
L, t
)
=
T
2
;
u
(
x,
0)
=
u
0
(
x
)
,
˙
u
(
x,
0)
=
v
0
(
x
);
u
(0
,
t
)
= 0
,
E
(1
−
D
)
∂u
∂x
(
L, t
)
=
p
(
t
)
.
(4)
Система (2)–(4) замкнута, неизвестными являются поле температуры,
перемещения, деформации и напряжения в стержне.
Численное решение связанной задачи термоупругости с разру-
шением.
Будем решать безразмерную связанную задачу термоупруго-
сти с разрушением методом конечных элементов [5].
190
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012