ϕ
не имеет решений. В частности, не всякая локальная симметрия
ˉ
Э
ϕ
,
ϕ
i
2
C
∞
(
E
∞
)
,
может быть продолжена до симметрии
˜
Э
ϕ,A
в
накрытии
τ
.
Такая ситуация имеет место, например, для накрытия
уравнения Кортевега–де Фриза, задаваемого полями (5)–(6), и его га-
лилеевой симметрии
ϕ
=
tp
1
+ 1
.
Назовем задачей реконструкции
симметрии нахождение для функции
ϕ
2
ker ˜
l
F
τ
-
симметрии вида
˜
Э
ϕ,A
= ˜
Э
ϕ
+
N
X
i
=1
a
i
∂
∂w
i
.
В общем случае эта задача не имеет решения.
Ниже для произвольного дифференциального уравнения приведена
конструкция одного специального накрытия, для которого эта задача
всегда разрешима.
Рассмотрим накрытие уравнения
E
∞
,
являющееся суммой Уит-
ни одномерных накрытий, определяемых элементами базиса про-
странства
ˉ
H
1
(
E
∞
)
.
Это накрытие обозначим
τ
1
:
˜
E
(1)
−→ E
∞
.
Затем
возьмем сумму Уитни всех одномерных накрытий над
˜
E
(1)
,
опре-
деляемых элементами базиса пространства
˜
H
1
(
˜
E
(1)
)
.
Получим на-
крытие
τ
2
,
1
:
˜
E
(2)
−→
˜
E
(1)
над
˜
E
(1)
,
которое определяет накрытие
τ
2
=
τ
1
◦
τ
2
,
1
:
˜
E
(2)
−→ E
∞
над
E
∞
.
Продолжая этот процесс, получим
башню накрытий над
E
∞
:
∙ ∙ ∙
τ
k
+1
,
k
−→
˜
E
(
k
)
τ
k,k
−
1
−→
˜
E
(
k
−
1)
τ
k
−
1
,
k
−
2
−→ ∙ ∙ ∙
τ
2
,
1
−→
˜
E
(1)
τ
−→ E
∞
(9)
обратный предел которой обозначим через
τ
:
˜
E −→ E
∞
.
Назовем
τ
универсальным абелевым накрытием
.
Очевидно, что
˜
H
1
(
˜
E
)
= 0
,
то
есть накрывающее уравнение не имеет законов сохранения.
Приводимая ниже теорема показывает, что при вычислении сим-
метрий в универсальном абелевом накрытии достаточно решить урав-
нение
˜
l
F
(
ϕ
)
= 0
.
Теорема 3.
Пусть
τ
:
˜
E −→ E
∞
—
универсальное абелево на-
крытие уравнения
E
=
{
F
= 0
}
.
Тогда для любой вектор-функции
ϕ
= (
ϕ
1
, . . . ,
ϕ
m
)
,
ϕ
i
2
C
∞
(
˜
E
)
,
удовлетворяющей уравнению
˜
l
F
(
ϕ
)
=
= 0
,
существует набор функций
A
= (
a
iα
)
,
a
iα
2
C
∞
(
˜
E
)
таких, что
˜
Э
ϕ,A
есть нелокальная
τ
-
симметрия уравнения
E
.
В универсальном абелевом накрытии возникают дополнительные
серии нелокальных симметрий у целого ряда уравнений, имеющих
оператор рекурсии. Операторы рекурсии
R
,
встречающиеся в лите-
ратуре, удовлетворяют соотношению
ˉ
l
F
◦
R
=
A
◦
ˉ
l
F
для некоторого
оператора
A
.
Поэтому результат применения оператора рекурсии к
симметрии (если он определен) будет снова симметрией. Операторы
рекурсии порождают вторые бесконечные серии нелокальных симме-
трий уравнения Кортевега–де Фриза, модифицированного уравнения
Кортевега–де Фриза, уравнения sin-Гордон, систем уравнений типа
Шредингера и других. При этом каждая новая нелокальная симметрия
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
211