где
Γ (
γ
)
—
гамма-функция.
Тогда функция распределения (10) принимает вид
f
(
v
)
=
(
γ
−
1/2)
Γ (
γ
)
√
π
Γ (
γ
+ 1/2)
r
A
2
A
1
A
γ
1
(
A
1
+
A
2
v
2
)
γ
(11)
или
f
(
v
)
=
(
γ
−
1/2)
Γ (
γ
)
√
π
Γ (
γ
+ 1/2)
r
β
αkT
(
αkT
)
γ
(
αkT
+
βv
2
)
γ
.
Если
α
→
0
,
то
A
1
→
0
,
а
γ
→
1
,
и выражение (11) принимает
форму распределения Коши [10]
f
(
v
)
=
√
αβkT
π
(
αkT
+
βv
2
)
α
→
0
.
(12)
Очевидно, что при
α
= 0
функция распределения
f
(
v
)
1
v
2
,
и нормировку для нее осуществить невозможно ввиду расходимости
при
v
= 0
.
При
β
= 0
величина
A
2
= 0
,
а параметр
γ
→ ∞
.
В этом случае
функция распределения (11) принимает вид распределения Максвелла
f
(
v
)
=
r
m
2
πkT
exp
−
mv
2
2
kT
.
(13)
Формулу (13) можно получить путем решения уравнения (4) при
β
= 0
и
F
= 0
.
Таким образом, соотношение между параметрами
α
и
β
определяет
вид функции распределения (см. формулу (9)). При
αm << β
функция
распределения близка к распределению Коши (12), а при
αm >> β
—
к распределению Максвелла (13).
Полученное выше выражение для функции распределения флукту-
аций скорости броуновской частицы в среде с флуктуирующим коэф-
фициентом трения позволяет путем экспериментального определения
отличия функции распределения скоростей броуновской частицы от
распределения Максвелла устанавливать характеристики флуктуаций
коэффициента вязкого трения. Мера Кульбака, метод эксперименталь-
ного определения которой предложен в работе [13], может служить в
качестве критерия отличия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
К л и м о н т о в и ч Ю. Л. Статистическая физика. – М.: Наука, 1982. – 608 с.
2.
М о р о з о в А. Н. Необратимые процессы и броуновское движение. – М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. – 332 с.
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012