работки. Для точного поиска периода используется следующий алго-
ритм. Сначала находят средний период примерно за 100 периодов пу-
тем выполнения дискретного преобразования Фурье (6) и нахождения
частоты первой гармоники. Затем для каждого из периодов уточняют
значения найденного на предыдущем шаге периода с помощью поиска
минимума автокорреляционной функции
R
uu
(
T
)
=
T
−
1
X
n
=0
u
n
u
n
+
T
.
(7)
Коэффициенты разложения функции (5) в ряд Фурье найдем с по-
мощью соотношения
F
k
(
δ,
Ω
,
ϕ
)
=
1
2
π
π
Z
−
π
f
(
x
)
e
−
ikx
dx
=
=
1
2
e
iδ
∞
X
n
=
−∞
i
n
J
n
(
Ω cos
ϕ
)
J
k
−
n
(
−
Ω sin
ϕ
)
+
+
1
2
e
−
iδ
∞
X
n
=
−∞
i
n
J
n
(
−
Ω cos
ϕ
)
J
k
−
n
(
Ω sin
ϕ
)
.
(8)
На основании метода наименьших квадратов определим функцию
невязки:
E
(
δ,
Ω
,
ϕ
)
=
∞
X
k
=
−∞
(
F
k
(
δ,
Ω
,
ϕ
)
−
U
k
)(
F
k
(
δ,
Ω
,
ϕ
)
−
U
k
)
.
(9)
Задача оптимизации сводится к поиску минимума функции (9).
Данная функция является кусочно-гладкой, но при этом обладает до-
статочно сложной нелинейной структурой, вследствие этого поиск ее
минимума может быть выполнен с использованием исключительно
численных методов оптимизации. Примерная зависимость функции
ошибки (9) от
δ
и
ϕ
при
Ω = Ω
0
представлена на рис. 4, на котором
видно, что функция ошибки является периодической функцией. При
фиксированных значениях
Ω
период функции ошибки (9) равен
2
π
по координатам
δ
и
ϕ
.
В рамках периода эта функция имеет четыре
локальных минимума, два из которых являются искомыми. Эти два
минимума всегда связаны соотношениями
δ
1
=
−
δ
2
,
ϕ
1
=
ϕ
2
+
π.
(10)
В этом можно легко убедиться, подставив (10) в функцию (9). Из
соотношения (10) следует, что значения
δ
и
−
δ
являются неразличимы-
ми вследствие неопределенности начальной фазы. Поэтому начальные
приближения выбирают в интервале
δ
= 0
. . .
π
и
ϕ
= 0
. . .
2
π
с ша-
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012