88
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
Однородную систему уравнений (4) можно представить в следу-
ющем операторном виде:
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
{
}
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
T
1
2
, ,
;
0 0
2
Ω ,
h
t x
B R
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
−
⎡
⎤
∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂
=
⎣
⎦
=
D
D D
D D y
h
h
(6)
где операторы
j
D
симметричны
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
2
1 2
0
0
0
11
12
13
2
2
2
1 2
2
0 22
2
2
1
4
1 2
0
0
23
33
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
,
0,
;
1
1
Ω ;
2
6
1
2
Ω ,
Ω ;
12
1
0
0
2
1
1
2
0
;
2
12
1
2
0
0
12
1
0
0
2
1 0
x
h
t
x
x
x
h
t
h
t
x
h
x
x
x
x
B
R
h
B
R
h
B
B
R
R
h
R
R
R
h
R
R
R
R
μ
ρ
μ
μ
ρ
ρ
ρ
μ
μ
μ
μ
μ
−
−
−
−
= ∂ − ∂
=
= ∂
−
−
=
∂ +
∂ −
∂ −
= −
∂
= + ∂ −
+
⎡
⎤
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
+
−
⎢
⎥
=
∂
−
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
−
=
D
D
D
D
D
D
D
D
2
2
4
2
2
2
2
2
2
3
4
4
4
0
;
12
1
0
0
6
0 0 0
0 0 0
0 0 1 ;
0 0 0 .
12
12
0 1 0
0 0 1
x
h
R
h
R R
h
h
R
R
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+ ∂
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
= −
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
D
D
(7)
После подстановки соотношений (5) в (4) можно сгруппировать
слагаемые с одинаковыми гармониками в виде
( )
( )
( )
( ) ( )
[
]
0
1
,
,
cos
,
sin
,
k
k
t x
t x k
t x k
ϕ
ϕ
∞
+
+
=
∑
P
P
Q
0
(8)
откуда получаем бесконечную систему уравнений
( )
( )
( )
0
,
,
,
,
,
,
1, 2,3,
k
k
t x
t x
t x
k
=
=
= =
P
0
P
0
Q 0
…
(9)