ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
91
(
)
0
на границе .
j
j
L
S
⎡
⎤
⋅
∇ − × =
⎣
⎦
ϕ
n
l r
(12)
Непосредственной проверкой можно установить, что при
2
0
ij
N
=
краевая задача (11), (12) совпадает с краевой задачей для однородной
вращающейся жидкости, а функции
j
ϕ
преобразуются в обобщенные
потенциалы Черноусько. При
0
0
ij
N
ω
= =
оператор
L
становится
единичным и функции
j
ϕ
будут являться потенциалами Жуковского
[1].
Соблюдая терминологию, сложившуюся в работах по вращаю-
щейся жидкости, будем называть функции
j
ϕ
задачи (11), (12) обоб-
щенными потенциалами движения неоднородной
0
(
0)
ω
=
или вра-
щающейся неоднородной
0
(
0)
ω
≠
жидкости.
Определим обобщенные потенциалы движения и оценим влияние
неоднородной жидкости на движение системы тело—жидкость при
действии однородного силового поля с потенциалом
0
3
.
U gx
= −
Вращающаяся эллипсоидальная полость.
Пусть твердое тело с
эллипсоидальной полостью вращается вокруг неподвижной точки
О
,
находящейся на расстоянии
с
от геометрического центра полости и
лежащей на оси
Ох
3
.
Предположим, что угловая скорость вращения
0
(
const)
ω
=
в невозмущенном движении удовлетворяет условию
2
0
1
l
g
ω
(
l
—
характерный размер) и, следовательно, можно считать,
что
0
0
П .
U
=
Эллипсоидальная полость целиком заполнена неодно-
родной вращающейся жидкостью, плотность, которой в невозмущен-
ном движении изменяется в соответствии с законом
*
0 0
3
(1 ).
x
ρ
ρ
β
= −
Краевые задачи для определения функций
j
ϕ
в условиях двойного
приближения Буссинеска [5] принимают вид
2
2
3
2
3
2 ,
1, 2, 3,
j
j
j
j
x
∂
Δ +
=
=
∂
ϕ
ϕ
σ
χδ
(13)
(
)
0
на границе ,
j
j
L
S
⎡
⎤
∇ − × =
⎣
⎦
ϕ
l r
(14)
где
2
2
0
0
0
2
2
2 2
*
0 3
2
2 2
1
0
4
2
1
0 ;
;
;
,
1
0 0
N
g d
L
N
N
dx
N
−
= −
=
= −
=
+
+
+
χ
ω
ρ
ω
χ
σ
χ
λ
ρ
λ
χ
λ
3
j
δ
—
символ Кронекера.