ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
91
Указанное свойство не выполняется, например, для отрицатель-
ного биномиального распределения, если маргинальные распределе-
ния имеют различающиеся значения параметра
.
r
В заключение стоит отметить, что максимальное значение коэф-
фициента корреляции в модели, допускающей билинейное разложе-
ние по системе ортогональных многочленов (4), не дает абсолютное
максимальное значение коэффициента корреляции при заданных
маргинальных распределениях.
Для примера рассмотрим модель биномиального распределения с
n
= 2,
p
1
= 0,25,
p
2
= 0,75. Тогда максимальное значение коэффициен-
та корреляции в рамках модели, допускающей билинейное разложе-
ние по ортогональным многочленам, равно
1/3.
ρ
=
Закон распреде-
ления при
1/3
ρ
=
определяется набором вероятностей:
(0, 0) 0, 0625;
ψ
=
(0, 1) 0, 25;
ψ
=
(0, 2) 0, 25;
ψ
=
(1, 0) 0;
ψ
=
(1, 1) 0,125;
ψ
=
(1, 2) 0, 25;
ψ
=
(2, 0) 0;
ψ
=
(2, 1) 0;
ψ
=
(2, 2) 0, 0625.
ψ
=
Однако решение задачи поиска максимального значения коэффи-
циента корреляции при заданных одномерных распределениях (зада-
ча линейного программирования) дает другое распределение:
(0, 0) 0, 0625;
ψ
=
(0, 1) 0,375;
ψ
=
(0, 2) 0,125;
ψ
=
(1, 0) 0;
ψ
=
(1, 1) 0;
ψ
=
(1, 2) 0,375;
ψ
=
(2, 0) 0;
ψ
=
(2, 1) 0;
ψ
=
(2, 2) 0, 0625,
ψ
=
для которого
2 / 3
ρ
=
.
Следует отметить, что для этого распределе-
ния модель регрессии будет нелинейной. Остается открытым вопрос:
не будет ли граница для коэффициента корреляции вида (7) являться
максимальной для любого распределения с линейной регрессией од-
ной координаты относительно другой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
M e i x n e r J. Erzeugende Funktionen der Charlierschen Polinome. – 1938. –
Math. – Z. 44. – Р. 531–535.
2.
Х о х л о в В.И. Многочлены, ортогональные относительно геометриче-
ского распределения // Обозрение прикладной и промышленной матема-
тики. – 2003. – Т. 10. – Вып. 2. – С. 520.
3.
Х о х л о в В.И. Многочлены, ортогональные относительно отрицательно-
го биномиального распределения // Обозрение прикладной и промыш-
ленной математики. – 2003. – Т. 11. – Вып. 3. – С. 487–492.