ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
103
*
(
)
u u
δ
−
—
дельта-функция; ,
u
*
u
—
температура грунта и фазово-
го перехода соответственно (приближенно принимают
*
0
u
=
°С),
t
—
время;
( , , , )
s x y z t
—
мощность внутренних источников теплоты.
Требуется найти решение
( , , , )
u x y z t
в ограниченной области —
прямоугольном параллелепипеде
{0
, 0
, 0
},
x
y
z
D x L y L z L
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
удовлетворяющее начальному условию
( , , , 0) ( , , ),
u x y z
x y z
ϕ
=
(2)
где
( , , )
x y z
ϕ
—
заданное распределение температуры в расчетной
области в момент времени
t
= 0.
На границе
0
z
=
с температурой
п.г
,
u u
=
где
п.г
u
—
температура
поверхности грунта, происходит конвективный теплообмен со сре-
дой, имеющей температуру ( )
t
θ
.
Плотность теплового потока
п.г
J
на
этой границе выражается через коэффициент теплопередачи
h
так:
[
]
п.г
п.г
( )
.
J h t u
θ
=
−
(3)
На границе
z
z L
=
задан тепловой поток из недр Земли [2]:
З
const.
u q
z
λ
∂ = =
∂
(4)
Боковые границы области
D
теплоизолированы:
(0, , , ) 0,
( , , , ) 0;
( , 0, , ) 0,
( , , , ) 0.
x
y
u
u
y z t
L y z t
x
x
u
u
x z t
x L z t
y
y
∂
∂ =
=
∂
∂
∂
∂ =
=
∂
∂
(5)
Объемная теплоемкость
c
ρ
в левой части уравнения (1) опреде-
ляется по формуле [3, 4]
*
в
с.г с.г
л общ в
в в
*
с.г с.г
в общ
(
)
,
;
(
),
,
W
c c W W c W
u u
u
c
c c W u u
ρ
κ
ρ
ρ
∂
⎧ ⎡
⎤
+
− + +
<
⎪ ⎢
⎥
⎣
⎦
∂
=
⎨
⎪
+
>
⎩
(6)
где
с.г с.г
,
c
ρ
—
плотность и удельная теплоемкость сухого грунта со-
ответственно;
л в
,
c c
—
удельные теплоемкости льда и воды соответ-
ственно,
л
2, 05
c
=
кДж/(кг·К),
в
4, 22
c
=
кДж/(кг·К);
общ
W
—
массо-
вая доля воды и льда (по отношению к массе сухого грунта);
в
W
—
массовая доля (по отношению к массе сухого грунта) незамерзшей
воды при температуре ;
u
333
κ
=
кДж/кг — удельная теплота фазо-