ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
121
Следовательно, согласно соотношению (10),
0
1
ˆ
ˆ
( ) 1 ( )
( ) .
t
n
n
Y t
F t
xf x dx
t
− +
=
∫
(13)
Для слагаемого в левой части выражения (13) с учетом (8) и (12)
получаем
0
1
ˆ ( ) 1 ( )
( ) .
t
n
Y t
F t
xf x dx
t
− + =
∫
(14)
Правые части формул (14) и свойства 6 показателя
Y
(
t
)
равны, а
значит, равны и левые части, т. е.
0
1
ˆ ( ) 1 ( )
( )
( ) .
t
n
Y t
F t
F t
F x dx
t
− + = −
∫
Отсюда находим
0
1
ˆ ( ) 1
( ) .
t
n
Y t
F x dx
t
= −
∫
Правая часть найденного выражения, согласно формуле (3), равна
Y
(
t
),
следовательно, искомое соотношение (7) получено, что и требо-
валось доказать.
Нижняя доверительная граница показателя
Y
(
t
).
При малых
объемах выборки
n
степень доверия к точечной оценке ˆ ( )
n
Y t
крайне
низка. Поэтому докажем следующее утверждение.
Теорема 3.
Пусть
p
—
заданная доверительная вероятность. То-
гда нижней доверительной границей показателя
Y
(
t
)
служит следую-
щая величина:
ln (1 )
ˆ
( )
( )
.
2
n
n
p
Y t Y t
n
− −
= −
(15)
Доказательство
.
Для установления формулы (15) воспользуемся
неравенством Хевдинга [8]
(
)
2 2
1
1
1
2
Pr
exp
,
n
i
n
i
i
i
i
n
X
n
b a
ε
μ
ε
=
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
⎞
− ≥ ≤ −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
(16)
где
i
X
—
случайная величина, удовлетворяющая условию
i
i
i
a X b
≤ ≤
(
)
1, 2,...,
i
n
=
;
1
1
;
n
i
i
X
n
μ
=
=
∑
0
ε
>
—
произвольное число.