ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
129
Приравнивая размерности с обеих сторон этого равенства, полу-
чаем систему из трех линейных алгебраических уравнений с пятью
неизвестными степенями, решая которую относительно любых трех
степеней, например
, , ,
k q s
находим
/ 2;
1 4 2 ;
1.
k n q
n p s n p
=
= − −
= + −
(5)
Подставляя (5) в уравнение (3), получаем разложение
/2
(1 4 2 ) (
1)
.
n n p
n p n p
t CG Q r r
r
− −
+ −
=
(6)
Логарифмируя равенство (6) и приравнивая нулю частные произ-
водные от
t
по
n
и ,
p
находим два следующих экстремальных урав-
нения:
4
;
Q G r r
⋅ =
(7)
2
.
r r r
=
(8)
Совместно эти уравнения определяют все возможные решения
(
орбиты) в простейшей задаче движения электрического заряда од-
ной полярности в мощном поле большого электрического заряда дру-
гой полярности. Это некоторый аналог задачи о двух телах небесной
механики, где известны классическое скалярное уравнение движения
в центральном поле массы
0
:
M
2
0
,
r r GM
=
(9)
и его решения — эллиптические, параболические и гиперболические
орбиты [10].
Аналогом уравнения (9) в рассматриваемой задаче движения в
электростатическом поле является следующее уравнение, получаю-
щееся в результате подстановки
r
из уравнения (8) в (7):
2
r r Q G
=
.
(10)
Поскольку уравнения (9) и (10) различаются только константами,
то все орбиты рассматриваемой задачи подобны орбитам задачи
небесной механики (см. выражения (9) и (10)). Что же касается неиз-
вестного уравнения (7), то оно оказывается полным аналогом уравне-
ния, найденного для случая движения в гравитационном поле [3—7]:
4
0
.
GM r r
=
(11)
Оно утверждает действие в гравитационных полях помимо зако-
нов Кеплера и Ньютона следующего закона: инерциальное ускорение
тела в центральном гравитационном поле пропорционально четвер-