130
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
той степени от его скорости и обратно пропорционально массе цен-
тра гравитации, указывающего на возможность существования орбит,
одна часть которых реализуется в пространстве
Х
,
а другая — в двой-
ственном к нему пространстве
*
X
[3—7].
Поскольку уравнения (10)
и (11) получены с помощью экстремальной теории размерностей од-
новременно, то оснований сомневаться в справедливости уравнения
(11)
не больше, чем в существовании уравнения (9). Аналогичное
утверждение справедливо и в отношении уравнений (7) и (10).
Подставляя экстремали (7) и (8) в разложение (6), получаем два
общих представления решения рассматриваемой задачи через экс-
тремальные постоянные и переменные:
3
.
r
r
t C C
r
Q G
= =
(12)
Это уравнение выражает третий закон Кеплера в электростати-
ческом поле. Заметим, что если
0
,
GM Q G
=
то в гравитационном
поле тела
0
M
и в электрическом поле заряда
Q
реализуются тожде-
ственные семейства орбит, включая весьма богатое множество ор-
бит (см. уравнения (7) и (11)) с выходом в двойственное простран-
ство Минковского
*
1 2 3
( , ,
,
),
X t ix ix ix
=
где
i
—
мнимая единица. В
общем случае, если материальные тела в гравитационных полях об-
ладают достаточно большими электрическими зарядами, то их дви-
жение может заметно возмущаться ускорением согласно законам (7)
и (10).
На основе скалярного уравнения (10) нетрудно найти векторное
уравнение движения в центральном электростатическом поле. В са-
мом деле, умножая это уравнение на единичный вектор
,
r
r
учиты-
вая, что в рассматриваемой динамической системе отсутствуют орто-
гональные радиус-вектору
r
силы и используя операторное тожде-
ство
2
2
2
2
2
2
(
)
( )
d
d
d
r r r r
r
dt
dt
dt
=
= +
r
r r
r
r
(
здесь оператором является вторая производная
2
2
,
d
dt
первый член в
правой части определяет ускорение вдоль радиуса, а второй — орто-
гональное ему и равное нулю), получаем
2
2
2
.
d r
Q G r
dt
= ⋅
r
r