ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
131
Аналогично находим векторный аналог скалярного уравнения (7):
2
4
2
.
d
Q G r
r
dt
⋅
=
r r
Таким образом, экстремальная теория размерностей позволила,
не опираясь ни на какие физические законы, эксперименты или ин-
туицию, легко найти уравнения движения и их решения, а также фи-
зические законы, которым подчиняются движения тел в центральном
электростатическом поле. Для этого потребовалось лишь выяснить,
от каких параметров может зависеть изучаемое явление или процесс.
Чем больше параметров в исходном разложении (1), тем более точ-
ные уравнения изучаемого процесса могут быть получены. (Однако
при этом могут появиться экстремали, не имеющие прямого отноше-
ния к изучаемой задаче.)
Пример 2.
Найдем общее дифференциальное уравнение и диффе-
ренциальные уравнения, описывающие изменение тока
I
(
t
)
в отдель-
ных цепях схемы, в которой к общему источнику напряжения
U
(
t
)
параллельно подключены активное сопротивление
R
,
катушка индук-
тивности
L
0
и конденсатор
C
0
.
Воспользуемся следующим мини-
мально возможным разложением:
0 0
.
k l m n p
I CI U R C L
=
(13)
В единицах размерностей гауссовой системы это уравнение при-
нимает вид
3/2 1/2
3/2 1/2
1/2 1/2
2
3
L M L M L M L [L] [L] .
T T
T
T
k
l
m
n p
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
(14)
Из сравнения размерностей в равенстве (14) получаем систему из
трех алгебраических уравнений с пятью неизвестными степенями,
решая которую относительно любых трех степеней, например
k
,
l
,
p
,
находим
1
1
1
(1 );
(1 );
(1 ) .
2
2
2
k
m l
m p
m n
= +
= −
= + −
(15)
Подставляя (15) в уравнение (13), получаем разложение
(1 )/2 (1 )/2
(1 )/2
0 0
( )
.
m
m m n m n
I t CI
U R C L
+
−
+ −
=
(16)
Логарифмируя равенство (16) и приравнивая нулю частные про-
изводные по
m
и
n
,
находим два экстремальных уравнения:
0
;
U R IL
=
(17)
0 0
.
C L
=
(18)