136
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
мый в любой точке
1 2 3
( , , )
x x x
распределенными в объеме
V
заряда-
ми и электромагнитным полем, порождаемым не обязательно этими
зарядами. Постоянные коэффициенты здесь являются следствием
выбора гауссовой системы единиц [3].
Напряженность электрического и магнитного полей запишем со-
ответственно в виде [4]
1
;
= rot .
c t
ϕ
∂ = − −∇
∂
A E
H A
Сформулируем вариационную задачу в пространстве
X
как за-
дачу оптимального управления, в которой управляющими перемен-
ными являются вектор скорости
v
и частные производные от ска-
лярного и векторного потенциалов электромагнитного поля, исполь-
зуя для этого связи, ни в какой мере не ограничивающие
вариационную задачу с оптимизируемым функционалом (1):
0
0
= ( ), ( ) = , ( ) | ( )|
;
t
t
v t
t
c
=
≤
x v x x
v
(2)
3
0
0
0
1
=
+ , ( ) = ;
k k
k
d
w v w t
dt
ϕ
ϕ
ϕ
=
∑
(3)
3
0
0
0
1
=
+ , ( ) = ,
i
ik k
i
i
i
k
dA u v u A t
A
dt
=
∑
= 1, 2, 3.
i
(4)
Здесь переменные
0
= ,
= ,
k
k
w w
t
x
ϕ
ϕ
∂
∂
∂
∂
0
=
,
= , , = 1, 2, 3,
i
i
i
ik
k
A
A
u
u
i k
t
x
∂
∂
∂
∂
являются управляющими, однозначно определяющими скалярный и
векторный потенциалы, а компоненты четырехмерного потенциала
( ,
),
ϕ
r
A
как и компоненты вектора состояния ,
r
—
фазовыми пере-
менными.
На частные производные от электромагнитного потенциала
наложим следующие ограничения, естественные для случая, когда
электрическими и магнитными полями можно управлять посред-
ством изменения частных производных от них:
0
1
0
1
0
0
0
0
1
=
;
= ;
= , , = 1, 2, 3.
i
i
i
i
i
ik
ik
ik
k
k
k
k
k
A
A
u u
u u u
u
t
x
w w
w i k
x
ϕ
∂
∂
≤
≤
≤
≤
∂
∂
∂
≤
≤
∂
(5)
Найдем решение вариационной задачи (1)—(5), определяющей
управляемое движение электрически заряженных масс в электромаг-