138
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
1
1
3
2
2
3
+
= 0;
t
t
t
t
v v d v v d
ρ
τ
ρ
τ
∫
∫
(8)
1
1
2
1
1
2
= 0;
t
t
t
t
v v d v v d
ρ
ρ
τ
ρ
τ
+
∫
∫
(9)
1
1
3
1
1
3
+
= 0.
t
t
t
t
v v d v v d
ρ
τ
ρ
τ
∫
∫
(10)
Их совместное решение приводит к интегралам
1
1 2
= 0;
t
t
v v d
ρ τ
∫
1
2 3
= 0;
t
t
v v d
ρ τ
∫
1
1 3
= 0,
t
t
v v d
ρ τ
∫
(11)
из которых следует, что в каждый момент
t
только одна из компо-
нент
i
v
может не равняться нулю, а следовательно, любая экстре-
мальная траектория представляет собой ломаную линию из ортого-
нальных отрезков прямых, параллельных выбранной системе коор-
динат.
Доказательство
.
Гамильтониан
J
H
в задаче (1)—(5), в которой
поля
E
и
H
выражаются через управляющие переменные (4), имеет
вид
2
2
2
2
2
=
1
+
(
)
+
8
J
m
V
v
H c
dx
c
c
ρ
ρ
ρϕ
π
⎡
⎤
−
−
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
r
E H
A v
[
]
3
0
0
0
1
(
)
( )
,
i
i
i
w
u
μ
=
+ +
+ +
+
∑
i
λ v μ w v
u v
где
2
2
2
2
10
1
20
2
30
3
1
1
1
=
;
u w u w
u w
c
c
c
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
+ + + + +
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
E
2
2
2
2
2
2
2
32
32 23
23
13
13 31 31
21
21 12 12
= (
2
) (
2
) (
2
).
u u u u u u u u u u u u
−
+ + −
+ + −
+
H
Из необходимых условий оптимальности [5] получаем следую-
щие уравнения:
2
2
2
=
=
1
( )
J
m
V
H
v
c
c
c
ρ
ρ
ρ ϕ ϕ ρ
⎧
∂
∇
⎨
−
−
− ⋅∇ + ∇ + ∇ −
−
∂
⎩
∫
r
λ
A v
x
{
}
( )
+ [ rot ]
;
dx
c
ρ
⎫
− ∇ ×
⎬
⎭
r
r
v A v A
(12)