ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
139
3
0
2
1
=
+
+
= 0;
1 ( / )
J
m
i i
i
V
H
dx
c
v c
ρ
ρ
μ
μ
=
∂
⎡
⎤
−
−
+
⎢
⎥
∂
−
⎣
⎦
∑
∫
r
v
A λ w u
v
(13)
l
0
0 1
, ( ) 0;
J
V
H dx
t
μ
ρ
μ
ϕ
∂ = − =
=
∂
∫
(14)
1
, ( )
= 0.
J
V
H
dx t
c
ρ
μ
∂ = − =
∂
∫
r
v μ
A
(15)
Интегрируя уравнения (14) и (15), находим
1
0
( )
=
;
t
t
V
t
d dx
μ
τ ρ
∫ ∫
1
( )
=
.
t
t
V
t
d
dx
c
ρ
τ
−
∫ ∫
μ
v
(16)
Дифференцируя уравнение (13) по времени с учетом (14) и (16) и
исключая из него с помощью первого уравнения вектор
λ
,
приходим
к интегродифференциальному уравнению движения в случае управ-
ляемых электромагнитных полей:
[
]
{
}
=
[
]
( )/
V
V
dx
c
dx
c
ρ
ρ
ϕ
ρ
+ × − −
∇ −
∫
∫
r
p
E v H
A v
2
2
2
1 ( / )
+ (
)
1 ( / )
m
r
m
V
V
d
A
c
v c
dx
dx
dt
c t
v c
ρ
ρ
ρ
ρ
⎧
∂
⎫
⎡
⎤
⎡
⎤
−
− −
⋅∇ −
∇ +
⎨
⎬
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
⎩
⎭
−
⎣
⎦
∫
∫
v
v
1
1
3
3
1
1
,
t
t
i
i i
i
i
i
V
t
t
d
d d
d dx
dt
c
dt c
ρ
ρ
ρ τ
ρ
μ
μ τ
=
=
⎡
⎤
+ −
− +
+
⎢
⎥
⎣
⎦
∑ ∑
∫
∫
∫
u
w w
u
из которого следует дифференциальное уравнение (6) почти всюду в
объеме
V
.
Если ограничения (5) на управляющие переменные
0
,
k
u
,
k
w
1, 2, 3,
k
=
не достигаются, необходимые условия экстремума гамиль-
тониана
j
H
(
реализующиеся в его седловой точке) сводятся к урав-
нениям
0
0
1 1
=
+
= 0;
4
J
k
k
k
k
V
H
u w dx
u
c
μ
π
∂
⎛
⎞
−
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∫
0
0
1 1
=
+
0,
1, 2, 3,
4
J
k
k
k
k
V
H
u w dx
k
w
c
μ μ
π
∂
⎛
⎞
−
= =
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∫
которые в векторной форме имеют вид