140
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
0
4
=
, 4
.
V
V
c
dx
dx
π
π μ
−
= −
∫
∫
μ E v
E
Отсюда получаем интеграл движения
0
=
,
c
μ
μ v
который с уче-
том уравнений (16) можно записать так:
1
1
=
t
t
t
V
t
V
d
dx
d dx
τ ρ
τ ρ
−
∫ ∫
∫ ∫
v v
или (почти всюду в объеме
V
)
в виде (7).
Другой векторный интеграл можно получить, если при оптими-
зации гамильтониана
J
H
не достигаются ограничения (5) на управ-
ляющие переменные
ik
u
, ,
i k
= 1,2,3. Для этого случая необходимые
условия оптимальности (реализующиеся в седловой точке
= 0)
J
ik
H
u
∂
∂
принимают следующий вид:
23 32
2 3
3 2
(
)
4
4 ;
V
u u dx
v
v
πμ
πμ
−
= −
=
∫
12
21
1 2
2 1
(
)
4
4 ;
V
u u dx
v
v
πμ
πμ
−
= −
=
∫
13 31
1 3
3 1
(
)
4
4 .
V
u u dx
v
v
πμ
πμ
−
= −
=
∫
Отсюда, согласно (16), следует выполнение равенств (9) и (10)
почти всюду в объеме
.
V
Выражения (11) получаются из (9) и (10) в
результате использования соотношений (7) и (8).
Таким образом, при оптимальном управлении движением элек-
трически заряженных масс, если допустимы достаточно большие
значения частных производных от
ϕ
и
r
A
,
интегралы вида (7)—(10)
реализуются в пространстве
1 2 3
( , , )
x x x
,
а уравнения (2)—(4), (6)—
(11), (16)
описывают, вероятно, некоторую «электромагнитную тру-
бу», ось которой, согласно уравнениям (11), формируется из отрезков
прямых, расположенных под углом 90° друг к другу. Этот результат
является математическим доказательством гипотезы А.И. Вейника.
Отметим, что в работе [6] для упрощенного случая неуправляе-
мого движения был получен аналог уравнения (6) методом, сходным
с рассмотренным, и c помощью разработанной автором экстремаль-
ной теории размерностей [6—11].
Работа выполнена при поддержке Программы фундаменталь-
ных исследований ОНИТС РАН «Интеллектуальные информацион-