Линейная часть представляется диагональной матрицей
A
, в кото-
рой на диагонали стоят собственные значения системы:
˙
x
=
f
(
x
) =
 
λ
1
. . .
0
. . . . . . . . .
0
. . . λ
n
 
x
+ ˉ
f
(
x
)
.
(7)
Спектр матрицы
A
представляется следующим рядом:
0
≥
λ
1
≥
. . .
≥
λ
k
λ
k
+1
≥
. . .
≥
λ
n
.
(8)
Выделяют вектор фазовых координат
x
1
, в который включают пер-
вые
k
состояний, и вектор фазовых координат
x
2
— последние (
n
−
k
)
состояний. Галеркин предложил принять вектор
x
2
= 0
. Тогда остав-
шаяся часть системы описывается уравнением
˙
x
1
=
 
λ
1
. . .
0
. . . . . . . . .
0
. . . λ
k
 
x
1
+ ˉ
f
(
x
1
,
0)
.
(9)
Есть более сложные методы типа нелинейного метода Галеркина,
сингулярные возмущения, центральные многообразия, инерционные
многообразия и т.д.
В большинстве методов для нелинейных систем рассматривает-
ся сначала линейный подход, который затем обобщается на нелиней-
ную систему. Основоположником идеи редукции линейных систем,
в основе которой лежит теория линейной сбалансированной реали-
зации, является Б. Мур [3]. Линейная система управления при этом
представляется в пространстве состояний:
˙
x
=
Fx
+
Gu
;
y
=
Hx
;
x
(0) =
x
0
;
x
2 <
n
, u
2 <
m
, y
2 <
p
,
(10)
где (
F
;
G
)
— пара управляемости, (
F
;
H
)
— пара наблюдаемости и
F
—
матрица Гурвица, т.е. каждое собственное значение матрицы
F
имеет
строго отрицательную вещественную часть
<
[
λ
i
]
<
0
для каждого
собственного значения
λ
i
. Грамианы управляемости и наблюдаемости
определяются по следующим формулам:
W
c
=
∞
Z
0
e
F t
GG
т
e
F
т
t
dt
;
W
o
=
∞
Z
0
e
F
т
t
HH
т
e
F t
dt.
(11)
124
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
1,2 4,5,6,7,8,9,10,11,12