где
[
d
]
обозначает векторное поле, которое является полиномом степе-
ни
d
. Определение функций управляемости и наблюдаемости остается
прежним. Если оптимальное управление определяется как
u
=
K
(
x
)
,
то связь оптимального управления и функции управляемости удовле-
творяет уравнениям Гамильтона–Якоби–Беллмана:
0 =
∂L
c
∂x
(
x
)
f
(
x, K
(
x
))
−
1
2
|
K
(
x
)
|
2
;
0 =
∂L
c
∂x
(
x
)
∂f
∂u
(
x, K
(
x
))
−
K
0
(
x
)
.
(19)
Функция наблюдаемости удовлетворяет уравнению Ляпунова,
тогда
0 =
∂L
o
∂x
(
x
)
f
(
x
) +
1
2
h
0
(
x
)
h
(
x
)
.
(20)
В работе [4] приведена теорема, согласно которой существует
окрестность
W
и преобразование координат
x
=
ϕ
(
z
)
на
W
, преобра-
зующее функции энергии в форму
L
c
(
ϕ
(
z
)) =
1
2
z
т
z
;
L
o
(
ϕ
(
z
)) =
1
2
n
X
i
=1
z
2
i
σ
i
(
z
i
)
2
,
(21)
где
σ
1
≥
σ
2
≥
, . . . , σ
n
≥
0
. Функции
σ
(
.
)
называются функциями
сингулярных значений Ханкеля.
Аналогично линейному случаю состояния системы могут сортиро-
ваться в порядке важности, сортируя функции сингулярных значений,
и редукция может происходить путем удаления наименее важных со-
стояний.
В упомянутой структуре для балансировки нелинейных систем не-
обходимо решить уравнения в частных производных и вычислить за-
мену координат
x
=
ϕ
(
z
)
, однако для решения этих проблем нет си-
стематических методов или инструментов.
Подходы к решению задач нелинейной редукции.
Методы ре-
шения основной задачи можно разделить на несколько групп. К пер-
вой группе относятся различные приближенные решения, основанные
на расширениях ряда. Такой подход, в частности, использовал Кре-
нер [5]. Разложение функций управляемости и наблюдаемости в ряд
Тейлора позволяет в определенной мере преодолеть неединственность
функций сингулярных значений и входных нормальных координат для
нелинейной системы. Метод алгоритмизирован, что позволяет исполь-
зовать его на практике. Ко второй группе относятся статистические ме-
тоды, основанные на возбуждении системы с белым гауссовым шумом
[6] и на вычислении балансировочного преобразования, использующе-
го алгоритм дифференциальной топологии.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
127
1,2,3,4,5 7,8,9,10,11,12