ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
6
ся решение, у которого в крайних бесконечных слоях поле экспонен-
циально убывает на бесконечности (краевые условия), значение эф-
фективного показателя преломления
называют собственным, а со-
ответствующее решение — собственной ТЕ-модой волновода. Число
ТЕ-мод в волноводе, состоящем из конечного числа слоев, конечно
[3].
Определение этого числа — одна из основных задач теории вол-
новодов.
Отметим, что поставленная задача решается весьма успешно чис-
ленными методами, однако не обходится без затруднений. Дело в
том, что весьма часто возникают очень близкие собственные значе-
ния постоянной распространения. И они могут быть не распознаны
при недостаточной точности вычислений. Полученный автором этой
статьи результат, основанный на довольно кропотливом аналитиче-
ском рассмотрении, позволяет точно подсчитать число собственных
значений и определяет ход решения данной задачи.
В работе [4] решена математически сходная задача вычисления
числа энергетических уровней квантовой частицы в кусочно-
постоянном потенциальном поле. Используемый автором настоящей
работы метод значительно упрощен и усовершенствован. Основным
результатом являются эффективные формулы, позволяющие подсчи-
тать число ТЕ- и ТМ-мод в произвольном плоском диэлектрическом
волноводе. Подробно рассмотрен случай ТЕ-волн.
Нам удобно перейти к безразмерной приведенной единице длины
1
1
2
n x
,
где
1
—
длина волны света в слое с показателем пре-
ломления
п
1
.
При этом уравнение для ТЕ-волн в слое принимает вид
2
2
2
2
y
j
y
y
d E
E E
d
  
где
1
j
j
n
—
приведенный показатель преломления, который мо-
жет быть меньше единицы (например,
1
1
m
);
1
n
—
приве-
денный эффективный показатель преломления.
Геометрическая трактовка дисперсионного уравнения.
Запи-
шем в удобной для нас форме известное уравнение (называемое дис-
персионным) для собственных значений постоянной распростране-
ния, получаемое методом характеристических матриц. Пусть
2
j
t
j m
  
, —
приведенная толщина
j
-
го ограниченного слоя.
Назовем величину
2
2
j
j
q
 
характеристикой
j
-
го слоя волново-
да. Она зависит от величины
и может быть либо вещественной,