ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
8
и поскольку
2
2
1
m
m
A
 
и
2
2
m
B
 
вещественны, величи-
ны
1
j
j
A B j m
   
,
также вещественны при
1
 
 
.
Оказывается, что выбирая произвольно в качестве выделенного
слой с номером
m j

2
,
дисперсионное уравнение можно записать
в виде скалярного произведения векторов:
0
1
( ,
) 0,
j
j
a A
(1)
где вектор
a
j
+1
имеет координаты
1
1
(
)
j
j
a b
 
а вектор
0
j
A
можно полу-
чить зеркальным отражением вектора
( ,
)
j
j
j
A B
A
от прямой
y x
.
Подчеркнем, что из невырожденности матриц ( )
j
V
следует нера-
венство каждого вектора
a
j
(
),
( ), 1
,
j
A
 
 
нулевому вектору.
Совпадение корней дисперсионного уравнения с множеством
собственных значений постоянной рапространения.
Докажем, что
множество корней уравнения (1) совпадает с множеством собствен-
ных значений эффективного показателя преломления. Обозначим ле-
вую часть уравнения (1) через ( )
F
.
Установим следующий факт.
Лемма 1
.
Величины ( )
F
не зависят от номера
j
выделенного
слоя. Действительно,
0
1
1
,
,
,
j
j j
j
j
j
j
j
V
O
V
a
a A A A A
где под векторами мы понимаем столбцы их координат, а матрица
0 1
.
1 0
O
 
Для
( )
j
F
и
1
( )
j
F
можно записать
0
т
0
т
т т
1
1
1
( ,
)
j
j
j
j
j
j
j j
j
O V O
a A a A a A a A
и
0
т
т
т
1
1
( ,
)
.
j
j
j
j
j
j
j
j
O
OV
a A a A a a A
 
Последние выражения равны между собой, поскольку верно мат-
ричное равенство
т
.
j
j
V O OV
Так как матрица
j
OV
симметрическая,
т
т т
т
(
)
.
j
j
j
j
OV OV V O V O
 
Лемма доказана.
Как известно [2, 5], дисперсионное уравнение, полученное мето-
дом характеристических матриц, имеет вид