1
УДК 517.977, 519.626
Начально-краевая задача для уравнений динамики
вращающейся жидкости
© А.А. Гурченков
1
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва 105005, Россия.
Исследованы колебания вязкой несжимаемой жидкости, которая за-
полняет полупространство, ограниченное плоской стенкой, и враща-
ется вначале как твердое тело вместе со стенкой под действием вне-
запно начинающихся продольных колебаний. Приведено точное реше-
ние начально-краевой задачи для уравнений Навье—Стокса в случае
течения жидкости, индуцированного плоской пластиной. Вычислен
вектор касательных напряжений, действующих на пластины со сто-
роны жидкости. Показано, что при отсутствии вращения решение
переходит в известное решение задачи о нестационарном движении
жидкости, ограниченной перемещающейся плоской стенкой. Исследо-
ваны квазигармонические колебания пластины и движение с постоян-
ным ускорением. В частном случае гармонических колебаний и предпо-
ложении о перпендикулярности оси вращения плоскости пластины
показано совпадение с результатами, полученными К. Тарнлей. Сфор-
мулированы выводы об асимптотическом поведении решений.
Ключевые слова:
вязкая жидкость, уравнения Навье—Стокса, началь-
но-краевая задача, пограничные слои.
Введение.
Задачи динамики тел с полостями, содержащими жид-
кость, относятся к числу трудных задач классической механики и связа-
ны с именами выдающихся механиков и математиков, таких как
Г. Ламб, Г. Стокс, Л. Гельмгольц, Ж. Пуанкаре и др.). Из отечественных
ученых необходимо отметить работы Н.Е. Жуковского, С.Л. Соболева,
А.Ю. Ишлинского, Г.С. Нариманова, В.В. Румянцева и др.
Общая постановка задачи динамики твердого тела с полостью, со-
держащей идеальную жидкость, принадлежит Н.Е. Жуковскому. Было
доказано, что движение жидкости определяется движением тела, а само
движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена
эквивалентным твердым телом. При этом для определения движения
жидкости в полости необходимо решить некоторые стационарные крае-
вые задачи, зависящие только от геометрии полости.
Решение этих задач (потенциалы Жуковского) позволяют найти для
данной полости компоненты тензора присоединенных масс. Движение
тела с полостью, содержащей идеальную жидкость при потенциальном
движении, оказывается эквивалентным движению твердого тела, тензор
инерции которого складывается из тензора инерции исходного тела и
тензора присоединенных масс для данной полости.
