А.В. Филиновский
4
Рассмотрим первое собственное значение
1 1
( )
задачи (1), (2).
Собственное значение
1
является простым при всех
[2].
Обозначим соответствующую собственную функцию
.
u
Поскольку
оператор
1
(
)
I T B
является компактным и самосопряженным, в со-
ответствии с вариационным принципом имеем равенство
1
2
, 1
1
2
( )
( )
inf
.
n
ij
i
j
i j
v H
v v
a
dx
gv ds
x x
v dx
(9)
Нас будет интересовать поведение
1
( )
при
. Пусть
( )
1
d
— первое собственное значение задачи Дирихле
, 1
( )
0,
n
ij
j
i
i j
u
a x
u
x
x
;
x
(10)
0,
u
,
x
(11)
a
u
— соответствующая собственная функция.
Лемма 1.
Функция
1
( )
имеет следующие свойства:
монотонно возрастает и удовлетворяет неравенству
( )
1 1
;
d
выпукла вверх, т. е.
1
1
2
1 1
1 2
(1 )
(1 )
, 0
1
;
дифференцируема и
2
1
2
( )
0.
gu ds
u dx
(12)
Доказательство.
Монотонное возрастание
1
( )
следует непо-
средственно из равенства (9). Кроме того, в силу (9) выполняется не-
равенство
10
2
, 1
1
2
( )
( )
inf
n
ij
i
j
i j
v H
v v
a
dx
gv ds
x x
v dx
