Оценки первого собственного значения эллиптической краевой задачи с параметром
5
10
, 1
( )
1
2
( )
inf
,
n
ij
i
j
i j
d
v H
v v
a
dx
x x
v dx
(13)
откуда следует оценка
( )
d
d
.
Неравенство
( )
d
d
будет доказано ниже.
Выпуклость
1
( )
вытекает из неравенства
1
1
2
1
, 1
1
1
2
2
( )
2
2
, 1
2
( )
1 1
1 2
(1 )
inf
(1 ) inf
(1 )
.
n
ij
i
j
i j
v H
n
ij
i
j
i j
v H
v v
a
dx
gv ds
x x
v dx
v v
a
dx
gv ds
x x
v dx
Наконец, для доказательства равенства (12) применим оценки
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
, 1
1 2
1 2
1 1
2
2
2
, 1
1 1
2
( )
( )
( )
( ),
n
ij
i
j
i j
n
ij
i
j
i j
u u
a
dx
gu ds
x x
u dx
u u
a
dx
u ds
x x
u dx
из которых получаем двустороннее неравенство
2
1
2
1
2
2
1 2
1 1
2
2
2 1
( )
( )
.
gu ds
gu ds
u dx
u dx
(14)
