Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита. . .
l
*
a
(
a
= 1
,
2
,
3
) тензора эффективной теплопроводности композита [15]
̃︀
l
a
=
l
*
a
l
=
1 + ( ¯
l
a
−
1)(
∘
a
+ (1
−
∘
a
) )
1 + ( ¯
l
a
−
1)
∘
a
(1
−
)
,
(1)
где
¯
l
a
=
l
a
/
l
,
l
a
— главные значения тензора теплопроводности
включений;
∘
a
=
1 2 3
2
∞
∫︁
0
(
2
a
+ ) ( )
(2)
(
( ) =
√︀
(
2
1
+ )(
2
2
+ )(
2
3
+ )
,
a
— полуоси эллипсоида);
—
объемная концентрация включений.
Если начало прямоугольной декартовой системы координат
x
1
x
2
x
3
выбрать в центре сфероида, а координатную ось
x
3
направить вдоль
оси вращения, то уравнение его поверхности примет вид
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
/
¯
2
=
2
1
,
где
¯ =
3
/
1
<
1
,
1
— наибольший радиус сфероида. При этом ин-
тегралы в формуле (2) можно выразить через элементарные функции
и найти [16]
∘
1
=
∘
2
=
arcctg
n
−
n
/
(1 +
n
2
)
2(1
−
¯
2
)
3
/
2
¯
,
∘
3
=
1
/
n
−
arcctg
n
(1
−
¯
2
)
3
/
2
¯
,
(3)
где
n
=
√︀
¯
2
/
(1
−
¯
2
)
. По мере уменьшения значения
¯
сфероид по
форме приближается к тонкой круглой пластинке. В этом случае,
пренебрегая значением
¯
2
≪
1
, формулы (3) можно упростить, пред-
ставив их в виде
∘
1
=
∘
2
= ¯ (arcctg ¯
−
¯ )
/
2
,
∘
3
= 1
−
¯ arcctg ¯
.
(4)
Таким образом, для принятой одинаковой ориентации графеновых
включений в виде тонких круглых пластинок из формул (1) получим
̃︀
l
1
=
̃︀
l
2
= 1 +
(
l
0
/
l
−
1)
1 + (
l
0
/
l
−
1)
∘
1
(1
−
)
,
̃︀
l
3
= 1 +
(
l
⊥
/
l
−
1)
1 + (
l
⊥
/
l
−
1)
∘
3
(1
−
)
,
(5)
т. е. в рассматриваемом случае композит будет обладать трансверсаль-
ной изотропией по отношению к свойству теплопроводности. Если та-
кие анизотропные графеновые включения ориентированы хаотически,
композит станет изотропным с эффективным коэффициентом теплоп-
роводности
l
*
= (2
l
*
1
+
l
*
3
)
/
3
, определяемым соотношением
̃︀
l
=
l
*
l
=1+
2(
l
0
/
l
−
1)
/
3
1+(
l
0
/
l
−
1)
∘
1
(1
−
)
+
(
l
⊥
/
l
−
1)
/
3
1+(
l
⊥
/
l
−
1)
∘
3
(1
−
)
.
(6)
3
