А.В. Копаев, С.К. Соболев
10
dy
dp
3
3
3
( )
16 1 2 0.
2 (4 1) 1 2
t
t
y
t
t
t t
t
p
Следовательно, действительная часть комплексных корней
( )
x p
является возрастающей функцией, а мнимая положительная часть
( )
y p
— убывающей. Если
0
t
, то
1 ~ ,
2
y
t
1 ~
.
2
p
t
Поэтому при
p
имеем асимптотики:
1 ~
2
x
p
,
~
y
p
, и
поэтому при больших отрицательных значениях
р
имеем приближен-
ные формулы
1
2,3
1
1
( )
,
( )
2
z p
z p
i
p
p
p
. Можно получить та-
кие асимптотические формулы при
:
p
5
2
1
4
4
2
1 1
1
1
Re( ) ( )
( ),
2 2
2
3
1
Im( ) ( )
.
8
z x p
o
x p
p p
p
z y p
p
o
p p
p
(11)
Эти формулы дают хорошее приближение и при не очень боль-
ших по абсолютной величине отрицательных значениях
р
. Например,
при
4
p
для уравнения
3
4 1 0
z z
получим приближенные
значения его корней:
1
4
2,3
4
2
1 1 1 1 0, 24609375,
4 256
1 1
3
1 1
3 2
2 2
8 512
256
8
0,123046875 2, 01171875 .
z
p p
z
i
p
i
p p
p p
i
Точные значения этих корней (с пятью знаками после запятой):
1
0, 24627...
z
,
2,3
0,12313... 2, 01134...
z
Модуль и аргумент комплексного корня (с положительной мни-
мой частью) выражаются формулами:
2
2
1 ,
2
r z x y
x
3
1
arg( ) arctg arctg
1
2
y
z
x
x
.
