А.В. Копаев, С.К. Соболев
4
3
2
1
2
3
(
)(
)(
).
a b c d a z
z
z
(2)
Из (2) следуют формулы Виета для кубического уравнения:
1 2
3
1 2 1 3
2 3
1 2 3
,
,
.
b
z z z
a
c
z z z z z z
a
d
z z z
a
(3)
Покажем, что уравнение (1) с помощью простой замены можно
привести к более простому виду лишь с одним параметром (коэффи-
циентом). Сначала положим
3
b
a
. Тогда уравнение (1) примет
вид
3
1
1
1
0,
a c d
(4)
где
2
3
1
1
1
2
2
0,
,
.
3
27 3
b
b bc
a a c
d
d
a
a a
Если
1
0,
d
уравнение (4)
принимает вид
2
1
1
0
a c
и легко решается.
Рассмотрим подробно случай
1
0.
d
Разделим уравнение (4) на
1
d
и обозначим
1 3
1
a z
d
. Тогда получим уравнение
3
1
2
3
1 1
1 0.
c
z
z
a d
Наконец, обозначим
1
2
3
1 1
,
c
p
a d
и уравнение (4) примет
окончательный вид
3
1 0,
z pz
(5)
где константа
р
(вообще говоря, комплексная) зависит от исходных
коэффициентов
, , , ,
a b c d
причем, если все эти коэффициенты веще-
ственны, то и
.
p
Если
1
1
a
d
— комплексное число, то возьмем любое из трех значений
кубического корня, а если вещественное — возьмем вещественное значение этого
корня.
