A.O. Шишанин
4
Целью данной работы является исследование одного из обобще-
ний дзета-функции и его возможных применений в теории поля.
Рассмотрим пример приложения дзета-функции в физической за-
даче. В квантовой теории поля часто необходимо вычислять регуля-
ризованные детерминанты операторов Бельтрaми – Лапласа, Дирака
и т. д. Это необходимо, например, чтобы найти статсумму в некото-
рой квантовой теории поля. Такие детерминанты можно найти с по-
мощью подхода, который называется дзета-регуляризацией [5, 6]. Ре-
гуляризованный детерминант оператора
Q
можно вычислить, ис-
пользуя следующую формулу:
det
exp(
(0)).
Q
P
Здесь дзета-функция ζ
Q
(
s
) построена по собственным значениям λ
n
оператора
Q
:
0
1 .
n
Q
s
n
Рассмотрим, например, свободную квантовую частицу на окруж-
ности. Она описывается одномерной гауссовой теорией поля. Для
того чтобы найти статсумму этой теории, нужно определить детер-
минант оператора –
d
2
/dx
2
. Спектр этого оператора состоит из 0 и
(
n/r
)
2
, где
r
– радиус окружности,
n
– любое натуральное число. При-
мем для простоты
r
= 1, тогда
2
1
( ) 2
2 (2 ).
s
Q
s
s
n
Поскольку
1
(0)
log(2 ),
2
то
2
2
det
2 .
d
dx
Дзета-регуляризация дает для произведения ∞!= 1·2·3·4·... значение,
равное
2
.
Квантовый анализ.
Квантовый или
q
-анализ можно определить,
по крайней мере, двумя способами [7]. В частности, можно опреде-
лить
h
-анализ с производной
(
) ( )
( )
.
h
f x h f x
D f x
h
