Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия и их q-аналоги
5
Здесь мы будем рассматривать
q
-анализ, в котором производная
функции имеет вид
( ) ( )
( )
.
q
f qx f x
D f x
qx x
Обе производные переходят в обычную производную в пределах
h
→ 0 и
q
→ 1 соответственно. Определим
q
-аналог действительного
числа как
1
[ ]
1
n
q
q
n n
q
.
Для аналога бесконечности (если 0 <
q
< 1) имеем
1
[ ]
.
1
q
Запишем для целого
n
> 1 следующее выражение:
1
(
) (
)(
)...(
).
n
n
q
x a x a x qa x q
С учетом полученного выражения можно записать
1
(
) [ ](
) .
n
n
q
q
q
D x a n x a
Представим
q
-экспоненты следующими рядами:
( 1)
2
0
0
;
.
[ ]!
[ ]!
i i
i
i
x
x
q
q
i
i
x
x
e
E q
i
i
Используя формулу Эйлера, можно построить через
q
-экспоненты
тригонометрические функции.
Квантовый аналог интеграла в начале ХХ в. ввел Ф. Джексон:
0
0
( )
(1 )
( ).
a
i
i
q
i
f x d x
q a q f q a
Определим
q
-гамма- и
q
-бета-функции. Обычная гамма-функция
имеет вид простого функционального уравнения: Γ(
t
+ 1) =
t
Γ(
t
).
Найдем для ее
q
-аналога похожее функциональное уравнение. Запи-
шем
q
-гамма-функцию в виде следующего интеграла Джексона:
