Математическое моделирование температурного состояния пространственных. . .
Здесь
˜
,
˜
,
h
,
˙˜
— интерполированные значения температуры, ее про-
изводных по криволинейной координате
h
и времени
t
соответствен-
но;
[ ]
— матрица-строка, составленная из финитных функций
(
h
)
(︀
= 1
,
)︀
;
{ }
— вектор-столбец, составленный из узловых значе-
ний температуры
(︀
= 1
,
)︀
;
{︁
˙
}︁
— вектор-столбец, составлен-
ный из узловых значений производных температуры по времени
˙
(︀
= 1
,
)︀
.
Перенесем все члены уравнения (1) в правую часть, подставим
в нее интерполированные значения температуры, ее производных
и рассмотрим невязку
=
l
(︁
˜
,
h
)︁
,
h
+
−
r
˙˜
.
Теперь в соответствии с методом Гал¨eркина умножим невязку
последовательно на функции
(︀
= 1
,
)︀
, проинтегрируем по об-
ласти
ℎ
и результат приравняем нулю, получим
∫︁
ℎ
=
∫︁
ℎ
[︁
l
(︁
˜
,
h
)︁
,
h
+
−
r
˙˜
]︁
(
h
) = 0
,
= 1
,
.
(8)
С учетом соотношений (5)–(7) выражение (8) представляет собой
систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно
узловых значений температуры (как функций времени). Для ее реше-
ния необходимо добавить начальное условие (2), записанное в соот-
ветствующем виде.
Перепишем выражение (8) в виде
∫︁
ℎ
[︁
l
(︁
˜
,
h
)︁
,
h
+
]︁
−
∫︁
ℎ
r
˙˜
= 0
,
= 1
,
.
(9)
С учетом выражения (7) второй интеграл в формуле (9) представим
следующим образом:
∫︁
ℎ
r
˙˜
=
∫︁
ℎ
r
[ ]
{︁
˙
}︁
=
=
∫︁
ℎ
r
[
1
2
. . .
]
{︁
˙
}︁
,
= 1
,
.
(10)
Рассмотрим глобальную матрицу теплоемкости
[ ]
, которую на
основании выражения (10) можно записать в виде
[ ] =
∫︁
ℎ
r
[ ]
т
[ ]
.
(11)
Выражение (11) для вычислений и формирования системы линейных
алгебраических уравнений является крайне неудобным. Интегрирова-
ние следует проводить по объемам конечных элементов, используя
3
