И.В. Станкевич
Разностную аппроксимацию производной по времени можно пред-
ставить следующим образом:
{︁
˙
}︁
=
{ }
t
≈ { } − { }
−
1
ℎ
t
.
(21)
Полагая, что коэффициенты в уравнении (17) постоянны на от-
резке
[
t
−
1
,
t
]
, и подставляя выражения (19), (20) и (21) в формулу
(17), после очевидных преобразований получаем общее выражение
для двухслойной схемы с весами:
([ ] +
ℎ
t
w
[ ])
{ }
=
= ([ ] +
ℎ
t
(
w
−
1) [ ])
{ }
−
1
+
ℎ
t
(︀
(1
−
w
)
{ }
−
1
+
w
{ }
)︀
.
Как известно, фиксированное численное значение параметра
w
оп-
ределяет тип конкретной разностной схемы [4], например:
w
= 0
—
схема с разностью вперед;
w
= 1
/
2
— схема Кранка — Николсона;
w
= 2
/
3
— схема Гал¨eркина;
w
= 1
— схема с разностью назад. Во-
обще говоря, параметр
w
может принимать любые численные значе-
ния из отрезка
[0
,
1]
. Схема Кранка — Николсона имеет определенные
преимущества перед остальными схемами, поскольку аппроксимирует
уравнение (17) по переменной
t
с порядком
(
ℎ
2
t
)
, а остальные ука-
занные схемы имеют более низкий порядок аппроксимации —
(
ℎ
t
)
.
Кроме двухслойных схем существуют и используются трехслойные
схемы, построение которых можно найти в работах [2, 4].
Решение нелинейных задач теплопроводности
. Нелинейность
в задачах теплопроводности возникает, когда коэффициенты в уравне-
нии (1) и граничных условиях (3) и (4) зависят от искомой температу-
ры, например
l
( )
,
( )
,
r
( )
,
(
h
,
)
,
( )
и
a
( )
. Предполо-
жим, что все эти функции являются измеримыми и ограниченными и,
кроме того, имеют ограниченные производные по температуре . То-
гда, если не применяются линеаризующие процедуры, на каждом шаге
по времени необходимо решать систему нелинейных алгебраических
уравнений с помощью итерационных методов [4, 5]. Во избежание
этого применяют схемы типа предиктор — корректор [6], для которых
на каждом временном шаге требуется решать две системы линейных
алгебраических уравнений. Существенными недостатками использо-
вания схем предиктор — корректор являются: общее усложнение алго-
ритма решения и дополнительные затраты оперативной памяти. Эти
трудности можно исключить, если начально-краевую задачу в каждый
момент времени решать методом простых итераций с явным заданием
скорректированных значений коэффициентов уравнения теплопровод-
ности и граничных условий, применяя метод Гал¨eркина для постро-
ения матричных соотношений МКЭ. Таким образом, в каждой точ-
ке временного отрезка решение нелинейной начально-краевой задачи
6
