1
УДК 624.07:534
Особый случай малых вынужденных колебаний
линейной упругой механической системы
© Г.М. Тушева, О.Н. Тушев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Анализируются стационарные изгибно-крутильные колебания прямолинейного
стержня в линейной постановке. Показано, что вынужденные крутильные коле-
бания этого простого объекта происходят с частотой, отличной от частоты
возбуждения, в окрестности некоторого постоянного угла закрутки, неравного
нулю. Результаты иллюстрируются примером.
Ключевые слова
: колебания, изгиб, кручение, частота.
Известно, что в линейной упругой системе при синусоидальном
возмущающем воздействии возникают вынужденные колебания с
частотой внешнего возмущения. В некоторых случаях частота вы-
нужденных колебаний оказывается вдвое больше частоты возмуще-
ния. Как будет показано далее, этот эффект имеет чисто внешний,
формальный характер, а свойства линейных систем, безусловно, не
нарушаются.
Более сорока лет назад постановку оригинальной задачи предло-
жил академик В.Н. Челомей.
Рассматриваются малые изгибно-крутильные колебания упругого
призматического стержня при синусоидальном аддитивном воздей-
ствии. Будем считать, что изгиб стержня происходит только в одной
плоскости, а в ортогональной — является абсолютно жестким. Отме-
тим также, что поперечное сечение стержня может отличаться от
прямоугольного и выбрано таковым для определенности.
На рис. 1 изображен консольно закрепленный стержень длиной
l
прямоугольного сечения. При этом высота сечения существенно
меньше ширины и на рис. 1 условно не показана. К стержню прило-
жена поперечная распределенная нагрузка
( , ) ( ) sin
f z t u z pt
(1)
под углом
к оси
y
, причем
0
.
2
Таким образом, стержень совершает изгибные колебания в плос-
кости
xOy
и крутильные — вокруг оси
z
. При этом линейные пере-
мещения
x
и угловые
малы, а также
.
