А.С. Косолапов, А.В. Второв
2
ля
2
n
GF
— многочлены степени не выше
1
n
с коэффициентами
из поля
2
GF
:
1
2
1
2
1
0
( )
n
n
n
n
R х a x a x
a x a
.
Всегда существует некоторая наименьшая степень ε элемента по-
ля
c
, такая, что
1 mod , 2 ,
c
f x
или в сокращенном виде
1
c
,
где ε — период элемента
c
. Элементы расширенного поля Галуа
2
n
GF
можно записать в виде многочленов
R x
и в виде степеней
первообразного элемента
i
,
0, 1,
, 2 2.
n
i
Первообразный эле-
мент поля
2
n
GF
имеет максимально возможный период. Его степе-
ни пробегают все ненулевые элементы поля. Нулевой элемент не вхо-
дит в мультипликативную группу поля.
Каждый элемент поля
2
n
GF
может быть представлен в век-
торной форме:
.
c X
Здесь
—
n
-мерная вектор-строка (система из
n
элементов), назы-
ваемая натуральным базисом поля
2 :
n
GF
0 1
1
, , ,
,
n
а
X
—
n
-мерный вектор-столбец координат (система из
n
элементов):
т
0 1
1
, , , , ,
i
n
X x x
x
x
,
где
,
i
x
0, 1, ,
1
i
n
— координаты элемента поля в натуральном
базисе.
Справедливо матричное уравнение [2]
,
l
i l
i
X H X
(1)
где
i l
X
и
i
X
—
n
-мерные векторы-столбцы координат элементов
i l
и
i
поля
2 ;
n
GF
H
— невырожденная матрица порядка
n
,
с помощью которой можно найти координаты
i l
-го элемента, ес-
ли известны координаты
i
-го элемента.
