2
А.А. Гурченков, Д.В. Башкина, Н.Т. Вилисова
в стационарном уравнении Шредингера, существенно упрощающее
исследование.
1. Сведение к параметрической задаче на собственные значе-
ния.
Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера
(1)
с оператором Гамильтона
где
U
=
U
(
x
,
y
,
z
) – потенциал;
E
– энергия; Ψ = Ψ(
x
,
y
,
z
) – волновая
функция; единицы измерения выбраны таким образом, чтобы постоян-
ная Планка
ħ
равнялась единице.
В сферических координатах (
r
, θ, φ), где
r
– радиус-вектор точки;
θ – азимутальный угол; φ – полярный угол,
sin cos ,
sin sin ,
cos ,
x r
y r
z r
= θ ϕ
= θ ϕ
= θ
оператор Лапласа Δ имеет вид
2
2
2
2
2 2
2
1
1
1
sin
.
sin
sin
r
r r
r r
r
∂ ∂Ψ
∂
∂Ψ
∂ Ψ
⎛
⎞
⎛
⎞
ΔΨ =
+
θ +
⎜
⎟
⎜
⎟
∂ ∂
θ ∂θ
∂θ
θ ∂ϕ
⎝
⎠
⎝
⎠
Задача о квантовом ротаторе – это задача о движении квантовой
частицы по сфере. Без потери общности можно считать, что радиус
сферы равен единице. Тогда Ψ
(θ, φ),
r
= 1 и лапласиан имеет вид
2
2
2
1
1
sin
.
sin
sin
∂
∂Ψ
∂ Ψ
⎛
⎞
ΔΨ =
θ +
⎜
⎟
θ ∂θ
∂θ
θ ∂ϕ
⎝
⎠
Описание семейства потенциалов, допускающих разделение пере-
менных в уравнении Шредингера, проведем, согласно [1–3], в коорди-
натах (
u
1
,
u
2
) на единичной сфере, определенных соотношениями
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
2
1 2
1 cos sin 2 ,
1 cos .
u u
u u
+ = + ε ϕ θ − + ε
= + ε
θ
Здесь ε > 0 – параметр конической системы координат (
u
1
,
u
2
) на
единичной сфере, а сами координаты определены в прямоугольнике
