5
Энергетический спектр в одной задаче о квантовом ротаторе
В силу равенств
1
1
2
2
1
2
1
1
,
4 ( )
4 ( )
u
q u
q
f u
f u
∂
∂ ∂
∂
=
=
∂
∂ ∂
∂
−
дифференциальные части уравнений (6), (7) принимают наиболее про-
стой вид:
( )
(
)
2
1
1
1 1
1
1
2
1
1
1 ;
2
2
d
Eu U u
dq
− Ψ + −
Ψ = ΛΨ
(9)
( )
(
)
2
2
2
2 2
2
2
2
2
1
1 .
2
2
d
Eu U u
dq
Ψ + −
Ψ = ΛΨ
(10)
Получим теперь в явном виде формулы для этой замены. Введем
обозначения
(
)(
)
(
)(
)(
)
1
1
1
1
0,
1,
1 ,
1
1
.
2
2
1
1
u
u
c
a b
c
du
du
q
u
u u
a u b u u c
− −ε
= = − = − − ε
=
=
+ + ε +
− − −
∫
∫
Теперь, используя формулу (1.2.30) из [6], находим
(
)
1
1 1
1
,
,
q
F k
a c
=
ϕ
−
где
F
(φ,
k
) – неполный эллиптический интеграл первого рода [7],
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
,
1
1
,
1
1
1
,
arcsin
.
b c
k
k
k
a c
k
u c
k
b c
−
ε
ε
′
=
=
= − = + =
−
+ ε
+ ε
+ ε
⎛ ⎞
−
ε =
ϕ =
⎜ ⎟′
−
⎝ ⎠
Из (3) следует, что
(
)
1
1 1
1
,
q F k
+ ε = ϕ
или
(
)
1
1 1
1 sn 1 ,
.
u
q k
+ + ε
=
+ ε
ε
Таким образом,
(
)
2
1
1 1
2
2
2
1
1 1
1 1
2
2
1
1
1
1
1
sn 1 ,
1
1
1 1
1
sn
,
dn
,
.
u
q k
k
q k
q k
k
k
k
k
k
= ε
+ ε
− − ε =
⎛ ⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
=
− = −
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
′
′
′
′
′
⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
