7
Энергетический спектр в одной задаче о квантовом ротаторе
2
1
,
,
,
1
1
k
k
k
k
ε
⎛ ⎞
′
=
=
ε = ⎜ ⎟′
+ ε
+ ε
⎝ ⎠
(12)
причем переход от одной системы координат к другой не меняет коор-
динатных линий на единичной сфере, а лишь «перенумеровывает» их.
Координаты, определенные соотношениями (2), называются кониче-
скими или сфероконическими [6].
В случае потенциала (4), (9), (10) система уравнений, определяю-
щая параметрическую задачу на собственные значения, принимает вид
(
)
2
2
3
1
1
1 1
2 1
1
1
2
1
1
1 ,
2
2
d
Eu C u C u
dq
− Ψ + − − Ψ = ΛΨ
(
)
2
2
3
2
2
1 2
2 2
2
2
2
2
1
1 ,
2
2
d
Eu C u C u
dq
Ψ + − − Ψ = ΛΨ
где функции
u
1
=
u
1
(
q
1
) и
u
2
=
u
2
(
q
2
) определены соотношениями (11),
(12).
Для завершения формулировки задачи необходимо определить гра-
ничные условия. Ограничимся случаем, когда
( )
( )
( )
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0 0,
0,
d
d
d
d
k K
k K
dq
dq
dq
dq
′
′ ′
Ψ = Ψ =
Ψ = Ψ =
(13)
где
K
=
K
(
k
),
K′
=
K
(
k′
) – полные эллиптические интегралы первого рода,
а значения
k′K
и
K′k′
в силу (13) являются четвертьпериодами функций
u
1
(
q
1
) и
u
2
(
q
2
) соответственно. По-существу, эти условия определяют
задачу на 1/8 единичной сферы. Однако, учитывая четность потенци-
ала, можно однозначно и без особенностей продолжить собственную
функцию на всю единичную сферу.
Заключение.
Дальнейшие исследования будут направлены на из-
учение вопросов управления квантовыми ротаторами с учетом [8–11],
а также применение декомпозиционных преобразований в соответству-
ющих оптимизационных задачах по методам [12–14], а также [15–31].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ № 12-01-00710.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Доменные границы, солитоны и фазовые
переходы.
Сб.
Исследования по физике кинетических явлений
. Свердловск,
УНЦ АН СССР, 1984, с. 56–65.
[2] Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. О новых случаях интегрируемости уравнений
Ландау – Лифшица.
ЖЭТФ
, 1983, т. 84, вып. 2, с. 616–628.
