Задача Коши (16) имеет решение
Θ
n
= Θ
(0)
n
(1
+
β
˜
t
)
−
λ
n
β
,
которое позволяет построить распределение температурного поля по
(10).
Осуществляя обратный переход к переменным (
r
,
t
),
находим
решение исходной начально-краевой задачи
T
(
r, t
)
=
T
(
e
)
∞
X
n
=1
Θ
(0)
n
(
˜
r
)
N
(
λ
n
,
β
)
1
+
a
2
βt
R
2
0
−
λ
n
β
×
×
1
F
1
λ
n
β
;
3
2
;
−
r
2
β
4
R
2
0
(1
+
βt
)
+
T
(
e
)
.
Отметим, что при
β
→
0
полученное решение в силу асимптотики
гипергеометрической функции и первого замечательного предела бу-
дет стремиться к известному решению задачи теплопроводности для
шара фиксированного радиуса с краевыми условиями типа Дирихле:
T
(
r, t
)
=
T
(
e
)
∞
X
n
=1
√
2
˜Θ
(0)
n
e
−
λ
n
t
sin(
r
√
λ
n
)
r
+
T
(
e
)
,
λ
n
=
π
2
n
2
R
2
0
.
Анализ результатов.
Так как распределение температурного поля
в растущем шаре строится в форме спектрального разложения, первым
шагом в построении решения будет отыскание спектра рассматривае-
мого линейного оператора. На рис. 1 представлены графики собствен-
ных функций линейного оператора
A
.
Несколько первых собственных
Рис. 1
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
135