γ
(
p
0
)
=
γ
(
x
0
,
y
0
)
,
моделирующего профиль, и интенсивности изоли-
рованных точечных вихрей
~G
j
= (0
,
0
,
G
j
)
T
.
Пусть поле скоростей
~v
= (
v
x
,
v
y
,
0)
T
,
~v
∞
= (cos
β,
sin
β,
0)
T
—
ско-
рость невозмущенного потока, точка вычисления скорости задается
радиус-вектором
~r
= (
x, y,
0)
T
,
а точка на границе профиля, по кото-
рой ведется интегрирование — радиус-вектором
~r
0
= (
x
0
,
y
0
,
0)
T
,
тогда
~γ
(
~r
0
)
= (0
,
0
,
γ
(
~r
0
))
T
и
~v
(
~r
)
=
~v
∞
+
m
X
j
=1
~W
(
~r, ~ρ
j
,
~G
j
)
+
I
∂C
~γ
(
~r
0
)
×
(
~r
−
~r
0
)
2
π
|
~r
−
~r
0
|
2
dl
r
0
,
~r
2
R
2
\
C,
где
~W
(
~r, ~ρ
j
,
~G
j
)
—
скорость, индуцируемая в точке
~r j
-
й особенностью
поля скоростей.
Предельное значение скорости потока
~v
−
(
~r
)
на границе
∂C
со сто-
роны профиля [5] находится по формуле
~v
−
(
~r
)
=
~v
(
~r
)
−
~γ
(
~r
)
2
×
~n
(
~r
)
,
r
2
∂C,
(3)
где
~n
(
~r
)
—
единичная внешняя нормаль к профилю.
Для нахождения неизвестной интенсивности вихревого слоя
γ
(
~r
)
используется условие равенства нулю скорости
~v
−
(
~r
)
на
∂C
,
которое
обеспечивается обнулением либо нормальной, либо касательной ком-
поненты
~v
−
(
~r
)
[5, 6].
Классический подход
(
НМВЭ — метод вихревых элементов с нор-
мальными компонентами скоростей) к решению уравнения (3) предпо-
лагает его скалярное умножение на орт нормали к профилю и приводит
к сингулярному интегральному уравнению [4, 5]
I
∂C
~n
(
~r
)
∙
~γ
(
~r
0
)
×
(
~r
−
~r
0
)
2
π
|
~r
−
~r
0
|
2
dl
r
0
=
−
~n
(
~r
)
∙
~v
∞
+
m
X
j
=1
~W
(
~r, ~ρ
j
,
~G
j
)
!
,
2
∂C.
(4)
Модифицированный подход
(
КМВЭ — метод вихревых эле-
ментов с касательными компонентами скоростей) состоит в обес-
печении равенства нулю касательной компоненты
~v
−
(
~r
)
на профи-
ле [5, 6]. Направление касательной к профилю
~τ
(
~r
)
выберем так,
чтобы
~n
(
~r
)
×
~τ
(
~r
)
=
~k
и
|
~τ
(
~r
)
|
= 1
,
где
~k
—
орт оси
Oz
.
После
скалярного умножения интегрального уравнения (4) на
~τ
(
~r
)
получим:
I
∂C
(
~r
−
~r
0
)
∙
~n
(
~r
)
2
π
|
~r
−
~r
0
|
2
∙
γ
(
~r
0
)
dl
r
0
−
γ
(
~r
)
2
=
−
~τ
(
~r
)
∙
~v
∞
+
m
X
j
=1
~W
(
~r, ~ρ
j
,
~G
j
)
!
,
r
2
∂C.
(5)
112
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012