ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
119
Поскольку количество участников первой группы составляет
k
чело-
век, а второй —
,
n k
−
то оценкой показателя (2) служит величина
(
)
1
ˆ ( )
.
k
i
i
n
t n k
Y t
n
τ
=
+ −
=
∑
(6)
Отсюда следует искомая точечная оценка (5).
В оценке (5) величины
k
и
i
τ
( 1, 2,..., )
i
k
=
случайные [6]. Поэто-
му возникает вопрос: смещена ли найденная оценка? В связи с этим
докажем следующее утверждение.
Теорема 2.
Точечная оценка ˆ ( )
n
Y t
,
определенная формулой (5)
для показателя
( ),
Y t
несмещенная, т. е. справедлива следующая фор-
мула:
ˆ ( )
( ).
n
Y t
Y t
=
(7)
Доказательство.
Из формулы (6) находим
1
1
ˆ
ˆ
( ) 1 ( )
.
k
n
n
i
i
Y t
F t
nt
τ
=
− + =
∑
Здесь
ˆ ( )
n
F t
k n
=
(8)
—
точечная оценка функции распределения
( )
F t
случайной величи-
ны
τ
в течение времени
t
,
т. е.
( )
Pr(
);
F t
t
τ
= <
(9)
Pr( )
⋅
—
вероятность события, заключенного внутри скобок (от ан-
глийского слова Probability — вероятность).
Отсюда получаем
1
1
ˆ
ˆ
( ) 1 ( )
.
k
n
n
i
i
Y t
F t
nt
τ
=
− +
=
∑
(10)
Будем считать, что длительности
1 2
, ,...,
k
τ τ
τ
имеют одну и ту же
функцию распределения
(
) (
)
(
)
( )
Pr
,
t
F x
x
t
τ
τ
= < <
где
τ
—
одна из величин
1 2
, ,...,
k
τ τ
τ
;
(
) (
)
x
t
τ
τ
< <
—
обозначение
события
x
τ
<
при условии, что
t
τ
<
.