Формулы векторного анализа в бесконечномерных пространствах
Пусть —
m
-измеримое подмножество , обладающее следующим
свойством: существует
1
,
4
-квазинепрерывная функция
∈
2
,
12
(
m
)
,
такая, что
|
|
−
1
∈
12
(
m
)
,
m
дифференцируема вдоль векторного
поля
,
d
(
)
∈
2
(
m
)
, и
=
−
1
(︀
(
−∞
; 0)
)︀
.
Назовем множество
S
=
−
1
(0)
поверхностью множества . На
множестве
S
мы имеем условную меру
m
(0)
s
; образ меры
m
при отоб-
ражении на числовую ось имеет непрерывную плотность
( )
[4];
образ меры
3
·
m
при том же отображении обозначим через
3
( )
. Вве-
дем меру
m
0
s
( ) = (0)
|
( )
| ·
m
(0)
s
( )
,
где для
|
|
2
∈
1
,
6
(
m
)
выбрана
1
,
6
-квазинепрерывная версия.
Эта мера имеет конечную вариацию. Нормалью к поверхности
S
бу-
дем называть вектор
( ) =
|
( )
|
−
1
( )
,
∈
S
.
Теорема 2.
Пусть
∈
1
,
12
(
m
,
)
— векторное поле, для кото-
рого существует дивергенция
d
. Тогда функция
⟨
( ); ( )
⟩
име-
ет
1
,
6
-квазинепрерывную версию, и эта версия интегрируема по
мере
m
0
s
, причем справедлива формула Остроградского — Гаусса:
∫︁
d
( )
m
( ) =
∫︁
S
⟨
( ); ( )
⟩
m
0
s
( )
.
(1)
В частности, правая часть формулы
(1)
не зависит от конкретного
выбора такой версии.
Доказательство.
Отметим, что интеграл в правой части
∫︁
⟨
( ); ( )
⟩
|
( )
|
m
0
s
( ) =
∫︁
( ) (0)
m
(0)
s
( )
,
где для
∈
1
,
6
(
m
)
выбрана
1
,
6
-квазинепрерывная версия,
и этот интеграл конечен.
Пусть
w
1
— положительная четная
∞
-функция с носителем
[
−
1; 1]
,
∫︀
w
1
( ) = 1
;
w
( ) =
w
1
( )
. Введем функции
q
( ) =
+
∞
∫︁
( )
w
( )
.
Очевидно, что
q
∈
2
,
12
(
m
)
,
q
= 1
на
−
1
(︀
(
−∞
;
−
1
/
]
)︀
,
q
= 0
на
−
1
(︀
[1
/
; +
∞
)
)︀
. Пусть функции
q
,
∈ ℱ
∞
( )
,
= 1
,
2
, . . .
,
равномерно ограничены и приближают
q
по норме
‖ · ‖
2
,
12
. Перей-
дя к подпоследовательности, можем также считать, что
q
,
→
q
m
-почти всюду. По определению дивергенции,
∫︁
q
,
( )
d
( )
m
( ) =
−
∫︁
q
,
( )
m
( )
.
3
