Формулы векторного анализа в бесконечномерных пространствах
можно перейти к пределу при
→ ∞
. Следовательно,
d
=
∞
∑︁
=1
2
+
∞
∑︁
=1
·
d
;
в частности, эта сумма не зависит от выбора базиса в .
Следствие 3.
Пусть
m
— радоновская вероятностная мера на прост-
ранстве Фреше . Предположим, что
(
*
)
⊂
(
m
)
. Пусть и —
две
1
,
4
-квазинепрерывные функции, удовлетворяющие всем усло-
виям, перечисленным в начале раздела, отвечают одним и тем же
и
S
с точностью до множеств нулевой
1
,
4
-емкости. Пусть
{ }
∞
=1
—
ортонормированный базис такой, что
∈
(
*
)
. Тогда для всех
векторных полей вида
=
3
,
3
∈ ℱ
∞
( )
, по формуле (1) получаем
∫︁
−
1
(0)
⟨
( ); ( )
⟩
m
0( )
s
( ) =
∫︁
−
1
(0)
⟨
( ); ( )
⟩
m
0( )
s
( )
,
значит, при всех
= 1
,
2
, . . .
совпадают меры
⟨
( )
,
⟩
m
0( )
s
( ) =
⟨
( )
,
⟩
m
0( )
s
( )
(на множестве
−
1
(0)
△
−
1
(0)
они обращаются в нуль). Обозначим
эти меры через
x
. Рассмотрим меру
l
=
m
0( )
s
+
m
0( )
s
. Меры
x
абсо-
лютно непрерывны относительно
l
и имеют плотности . Определим
меру
m
0
s
формулой
m
0
s
( ) =
(︂
∞
∑︁
=1
2
( )
)︂
1
/
2
l
( )
.
Ясно, что
m
0
s
( ) =
|
( )
|
m
0( )
s
( ) =
|
( )
|
m
0( )
s
( )
, и поскольку
| |
= 1
m
0( )
s
-почти всюду, a
| |
= 1
m
0( )
s
-почти всюду, отсюда вы-
текает совпадение мер
m
0( )
s
и
m
0( )
s
с мерой
m
0
s
. Именно на основании
этих соображений был введен нормировочный множитель
|
|
.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ефимова Е.И., Угланов A.B. Формулы векторного анализа на банаховом прост-
ранстве.
Докл. АН СССР
, 1983, т. 271, № 6, с. 1302–1306.
[2] Угланов A.B. Формула Ньютона — Лейбница на банаховых пространствах
и приближение функций бесконечномерного аргумента.
Известия АН СССР.
Сер. Математика
, 1987, т. 51, № 1, с. 152–170.
[3] Скороход A.B.
Интегрирование в гильбертовом пространстве
. Москва, Наука,
1975, 230 с.
[4] Пугач¨eв О.В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых простран-
ствах.
Теория вероятн. и примен.
, 2008, т. 53, № 1, с. 178–189.
[5] Airault H., Malliavin P. Int´egration g´eom´etrique sur l’espace de Wiener.
Bull. Sci.
Math.
, 2e serie, 1988, vol. 112, pp. 3–52.
5
