О некоторых классах дифференциальных уравнений в частных производных
некоторых дифференциальных операторов
D
,
∇
:
G
(
p
)
→
G
(
p
)
. По-
этому
[
,
3
] = [ ˆ
D
,
ˆ
∇
] =
\
[
D
,
∇
] =
для некоторой функции , линейной по переменным
s
, причем из
условий леммы следует, что
∈
∞
( (
p
))
, где — порядок систе-
мы
ℰ
:
= 0
. Применив операторы
[
,
3
]
и к вектор-функции
(
1
∅
, . . . ,
∅
)
, получим равенство
(
3
)
−
3
( ) =
, из которого сле-
дует, что
|
ℰ
= 0
. Затем докажем, что
=
∑︀
, где
∈
∞
( )
,
т. е.
=
∘
¯
.
Следствие.
Если условия леммы 1 выполнены, система диффе-
ренциальных уравнений имеет бесконечную серию симметрий
¯
3
(
3
)
,
= 0
,
1
,
2
, . . .
, порожденную оператором рекурсии
= ¯
3
.
Таким образом, для получения оператора рекурсии линейной си-
стемы надо найти ее симметрию с производящей функцией вида (1),
причем функции
b
(
,
)
должны быть линейны по переменным .
Аналогично доказывается следующая лемма.
Лемма 2.
Пусть
ℰ
:
= 0
— линейная система с постоянными
коэффициентами в векторном расслоении
p
:
+
→
и произво-
дящая функция некоторой симметрии
3
= (
3
1
, . . . ,
3
)
линейна по
переменным
s
. Тогда существует -дифференциальный оператор
такой, что
[ ¯
,
¯
3
] =
∘
¯
.
Замечание.
Построенный оператор рекурсии
= ¯
3
удовлетворя-
ет соотношению
¯
∘
=
∘
¯
, где оператор
= ¯
3
+
. Сопряженное
равенство
¯
*
∘
*
=
*
∘
¯
*
показывает, что оператор
*
претендует на
роль оператора рекурсии для законов сохранения. Напомним, что за-
коны сохранения достаточно широкого класса уравнений однозначно
определяются своими производящими функциями
y
, которые удовле-
творяют уравнению
¯
*
(
y
) = 0
. Однако не всякое решение данного
уравнения является производящей функцией некоторого закона сох-
ранения. Поэтому возможна ситуация, когда полученные с помощью
оператора рекурсии функции, принадлежащие ядру оператора
¯
*
, не
будут являться производящими функциями законов сохранения. Тем
не менее в ряде случаев этот метод приводит к построению беско-
нечной серии законов сохранения. В качестве иллюстрации докажем
следующее утверждение.
Предложение.
Линейное эволюционное кососопряженное урав-
нение
ℰ
:
= (
, ,
1
, . . . ,
)
имеет бесконечную серию зако-
нов сохранения с производящими функциями
y
= ¯
2
( ) = ¯
2
( )
,
= 0
,
1
,
2
, . . .
.
Доказательство.
Очевидно, что
y
∈
ker ¯
*
, где
¯ = ¯
−
¯
,
¯
*
=
−
¯
. Осталось лишь проверить выполнение критерия, обеспечи-
вающего существование закона сохранения с производящей функцией
3
